15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。

15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。

解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯==相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯==相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯==相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯==相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。

即：()22cr EJP l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。

解：962001092.62301033827452.51.22p p s s Ea b λππσσλ⨯===⨯--===()ejMPa σej z σσ=338 1.22ej σλ=-22ej E πσλ=274274225 216 137 87 λ52.5≤52.592.610012015015-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。

若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。

试校核此挺杆的稳定性。

解：(1)()()()344442222222101084.332886411641210 3.90544413839884.833.905p p p EJ D d D d J i D d mm AD d liλππσπππμλλ⨯====--===+=+=-⨯===>=该压杆属大柔度杆()()2229222223210100.0120.019847.4610cr EJ E P A l N ππππλμ⨯⨯===⨯+=⨯ （2） 7.463.22.33cr w P n n ===>工作P该杆的稳定性足够。

15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P ＝150kN ，螺杆内径d ＝52mm ，l =50cm ．材料为A 3钢，E =200GPa 。

稳定安全系数规定为3=W n 。

试校核其稳定性。

解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故2μ=。

柔度应为：2500771001524p li μλλ⨯===<=⨯应采用经验公式计算其临界力：由表中查出：304a MPa = 1.12b MPa =。

则：32304 1.1277218218100.05246244623.083150ej ej ej ej w a b MPaP A KN P n n Pσλπσ=-=-⨯===⨯⨯⨯====>=工作所以满足稳定性要求。

15-6 10t 船用轻型吊货杆AB ，长为16cm ，截面为空心圆管，壁厚35Dt =，轴向压缩力P =222kN ，规定稳定安全系数5.5=W n ，材料为A 3钢，E =210GPa ，吊杆两端均为铰支座。

试确定用杆的截面尺寸。

解：先按大柔度杆解()()4292222722101064351168.345810cr D D D EJ P l Nπππμ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯=⨯7438.3458105.5 5.522210cr w P D n ⨯⨯>==⨯P 44222553473508.345810D mm mm ⨯==⨯ 1035D t mm == 330d mm ∴=校核应用的公式是否对：22221350330120.2644116000133120.26pD d i mmul i λλ-==-=⨯===> 所以上面的计算有效。

15-7 图示托架中的AB 杆，直径d ＝40mm ，长l ＝800mm ，两端铰支，材料为A 3钢，试求 (a )托架的权限载荷max Q ；(b )若工作载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数W n ＝2.0，问此托架是否安全？ 解： （1）AB 杆1,10480018008010di mm l mm ul i μλ====⨯===3A 钢100p λ=p λλ∴< 属于等杆2304 1.1280214.4214.440269.44cr cr cr ABa b MPa P A KN N σλπσ=-=-⨯===⨯⨯==22900sin 600800600600800118.8900cr cr Q P P Q KN θ⨯=⨯-⨯==极限极限 （2）118.81.702.070w Q n Q η===<=极限工作工作所以托架不安全。

15-8 两端固支的A 3钢管，长6m ，内径为60mm ，外径为70mm ，在C T20=时安装，此时管子不受力。

已知钢的线膨胀系数C/1105.126-⨯=α，弹性模量E =206GPa ．当温度升高到多少度时，管子将失稳？ 解:2222117060 2.3440.5600130.51002.3p J i D d cm A l i μλλ==-=-=⨯===>= 属大柔度杆设温度t C ∆;则管子变形tl δα=∆ 伸长管子受压力cr P P = 变形cr P lEA∆=缩短 变形协调条件0δ+∆=或者δ=∆()222222646.4130.512.510cr P l E ltl AEA EAt παλππλα-∆==∴∆===⨯⨯即升至2046.466.4T C =+=的管子失稳.15-9 有一结构ABCD ，由3根直径均为d 的圆截面钢杆组成如图，在B 点铰支，而在C 点和D 点固定，A 点为铰接。

π10=dL。

若此结构由于杆件在ABCD 平面内弹性失稳而丧失承载能力。

试确定作用于节点A 处的载荷P 的临界值。

解：AB 杆为铰支1μ=AC ，AD 杆为一端铰支一端固定0.7μ=AB 失稳此结构仍能继续承载，直到AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。

由于对称()()cr cr AC AD P P =()()222220:2cos3036.12cos300.7cos30crcrcr ABAC y P P P EJEJEJ l l l ππ==+=+⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∑15-10 铰接杆系ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏。

试确定载荷P 为最大时的θ角。

⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ。

解：当AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。

两杆的临界力为：()()2222cos sin ABACcr AB cr AC EJP P l EJP P l πθπθ====设BC 间距为L ，则cos ,sin AB AC l L l L ββ==代入上式222222cos sin sin sin A EJ P L EJP L πθβπθβ⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭ 消去P 得 222222cos cos sin sin EJ EJL L ππβθβθ= 即：2tg ctg θβ= ()2arctg ctg θβ∴=15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。

已知油压力p =32 MPa ，柱塞直径d =120mm ，伸入油缸的最大行程l ＝1600mm ，材料为45钢，E ＝210Gpa 。

试求柱塞的工作安全系数。

解：工作压力()()2632100.12361.734P pA KN π==⨯⨯⨯=工作2.0μ= 1.6l m =()10.120.03442 1.6106.70.03i d m l i μλ====⨯∴=== 45钢86p pλλλ===∴>属细长杆2222922621010 5.7106.73210cr cr cr EE P P πσλσσππησλ∴=⨯⨯=====⨯⨯工作工作15-12 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A 3钢，连杆所受最大输向压力为465kN 。

连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数。

解：（1）xy 平面内：()()()337421,3100119614096148512121.77551014096859614647052.391310059.252.39z l mmEi A J mm A mm i mml i μμλ===⎡⎤=⨯--⨯⎣⎦=⨯=⨯-⨯-=∴=⨯∴=== 3A 钢：100,106p s λλ==xy ∴面内属短杆p λλ<()6623510647010152015203.27465cr s cr xy P A KN P mm P ση-∴==⨯⨯⨯=∴===工作（2）xz 面内：()33640.5,31001185142140859612124.0741025.102310024725.10y pl mm E i A J mm i mm l iμμλλ===⎡⎤=⨯⨯+⨯-⨯⎣⎦=⨯∴=⨯∴===> 所以属细长杆。

()229622200106470102472092091465cr cr xy E P A KN P P ππλη-⨯⨯∴==⨯⨯=∴==<工作所以不安全。

15-13钢结构压杆由两个85656⨯⨯等边铰钢组成，杆长1.5m ，两端铰支，P =150kN ，铰钢为A 3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。

（2）抛物线公式。

试确定压杆的临界应力及工作安全系数。

解：1, 1.5,150l m P KN μ===工作查表：56568⨯⨯角钢：244min 28.367223.63247.24223.631.6828.3671 1.589.30.0168z y z A cm J cm J cm J i cm A l i μλ=⨯=⨯=⨯⨯∴===⨯⨯∴===3A 钢：123e λλ=>所以采用抛物线公式计算：226432400.006822400.0068289.3185.6185.61028.36710 2.0715010cr cr a MPa b MPaa b MPa P P σλη-===-=-⨯=⨯⨯⨯⨯∴===⨯工作工作15-14 图示结构，用A 3钢制成，E ＝200GPa ，P σ＝200MPa ，试问当q ＝20N/mm 和q =40N/mm 时，横梁截面B 的挠度分别为多少？BD 杆长2m ，截面为圆形，直径d =40mm 。