二次函数专题训练(含答案)一、 填空题1 21. 把抛物线V X 向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移 3个2单位，得抛物线2. 函数V 二-2X 2 • x 图象的对称轴是 _____________ ，最大值是3. 正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加V ，那么V 与x 之间的函数关系是 .4. 二次函数V = _2x 2 • 8x -6，通过配方化为V = a(x - h)2 • k 的形为 _—5. 二次函数V = ax 2 c ( c 不为零)，当x 取x i , X 2 (X I M X 2)时，函数值相等，贝UX i 与X 2的关系是 _______ . ____6. 抛物线V = ax 2 bx c 当b=0时，对称轴是 _________________ ，当a , b 同号时，对称轴在 V 轴 ______________ 侧，当a , b 异号时，对称轴在 y 轴 ________________ 侧.7. 抛物线V - -2(x 1)2 -3开口 _______________ ,对称轴是 __________ ,顶点坐标是 . 如果V 随x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是8. 若a ：：0，则函数y=2x 2，ax-5图象的顶点在第 ________________ 象限；当时，函 4数值随x 的增大而 ________ . _____9. 二次函数 V 二ax 2 bx c ( a 丰0)当a 0时，图象的开口 a ：：：0时，图象的开 口 ___________ ，顶点坐标是 ________ . ____1 210. 抛物线y (x -h)2，开口 ______________________ ，顶点坐标是 ______________ ，对称轴是 ______ . _____211. 二次函数y 二-3(x )( )的图象的顶点坐标是(1, -2 ).1 212.已知 y (x 1)2 -2，当 X313.已知直线V =2x -1与抛物线V =5x 2 • k 交点的横坐标为2,则k= ___________________ ,交 点坐标为 _______ . ____ ^x 22x 化成V 二a(x - h)2 k 的形式是315.如果二次函数 V =x 2 -6x m 的最小值是1,那么m 的值是 、选择题:_____________ 时，函数值随x 的增大而减小14.用配方法将二次函数16.在抛物线V =2x2 -3x，1上的点是( )A. （0，-1）B.C. (-1 , 5)D. (3, 4)517.直线y x2B.12-2与抛物线y=xA.O个个C.2- g x的交点个数是（个 D. 互相重合的两个18.关于抛物线y 2=ax +bx+c （0）,下面几点结论中，正确的有（①当a 0时，a：：：0时，情况相反.②③对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大, 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同兀二次方程ax2bx ■ c = 0 (a丰0)的根，就是抛物线y = ax2■ bx ■ c与x 交点的横坐标.A.①②③④B.19.二次函数y=（x+1）（x-3）A.x=1①②③ C. ①②，则图象的对称轴是（B.x=-2C.x=3D.x=-3D. ①)20.如果一次函数y = ax • b的图象如图代13-3-12bx-3的大致图象是（图代13-2-12中A所示，那么二次函y = ax=ax2 bx c的对称轴是x = -2,则—bA.2B.1C.4D. 124a22.若函数y 的图象经过点Y（1 , -2 ）,那么抛物线y = ax质说得全对的是（)A.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B.开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C.开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交21.若抛物线2• (a _1)x • a • 3 的性23.二次函数y =x2 - bx - c中，如果b+c=O，则那时图象经过的点是（A.(-1 ，-1)B.(1 ，1)C.(1 ,-1)D. （-1，1）A.a 0, △ 0B.a0, △ ：0图代 13-3-13图代 13-3-142228.二次函数y = X ykx 9k (k 0)图象的顶点在()30.不论x 为值何，函数 y =ax 2 • bx • c (0)的值永远小于 0的条件是()C . a ：：0, △ 0 D.a ：：：0, △ ：：0三、解答题2 a24.函数 y = ax 与 y =— x (a ：：0)在同一直角坐标系中的大致图象是(yD”25.如图代 13-3-14， 抛物线y = x 2 • bx c 与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于 B,C 两点，且BC=3 A.b=5 B.b=-5 D.b=4Sx AB(=6,C.b=29.四个函数：1 2y =—x, y = x+1, y =-一 (x>0), y =—x(x 〉0),其中图象经过原x A.y 轴的负半轴上 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上D.x轴的正半轴上点的函数有( )A.1 个B.2 个个 26.二次函数y = ax 2 (a<0)，若要使函数值永远小于零，则自变量 x 的取值范围是( )A .X 取任何实数B.x：：0 C.x 0 D.x ：：0 或 x 0227.抛物线y =2(X -3) 4向左平移 ( )A. y = 2(x 「4)2 6B.C. y =2(x -2)22D.1个单位，向下平移两个单位后的解析式为2y =2(x -4)22 2y=3(x-3)2B.yC.3 个D.431. 已知二次函数\ = X 2ax -2b 1和y = -x2• (a -3)x • b2-1的图象都经过x轴上两上不同的点M N求a, b的值.2 一132. 已知二次函数y =ax2 +bx +c的图象经过点A(2，4)，顶点的横坐标为一，它2 的图象与x轴交于两点B(X1, 0)，C(X2, 0)，与y轴交于点D,且x；=13，试问：y轴上是否存在点P,使得△卩08与厶DOC K似(0为坐标原点)？若存在，请求出过P, B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由33. 如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A, B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C,且/ ABC=90，求：(1)直线AB的解析式；(2)抛物线的解析式.向于C点，过A B, C三点做O D,若O D与y轴相切.(1)求a, c满足的关系；(2) 设/ ACB a，求tg a ; (3)设抛物线顶点为P,判断直线PA与O O的位置关系并证明35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD和A D是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C D/为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1 :4.求(1)桥拱DGD所在抛物线的解析式及CC的长；(2)BE和B/ E/为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A B B为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A B/的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA(或OA)区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736. 已知：抛物线y =x2_(m • 4)x - m 2 与x 轴交于两点A(a,O), B(b,O) (a：：：b) .0为坐标原点，分别以0A 0B为直径作O 0和O Q在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.237. 如果抛物线y - -X - 2(m -1)x - m - 1与x轴都交于A, B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x同的负半轴上，0A的长是a, 0B的长是b.(1)求m的取值范围；(2)若a : b=3 : 1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M问：抛物线上是否存在点巳使厶PAB的面积等于△ BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.38.已知：如图代13-3-18 , EB是O 0的直径，且EB=6,在BE的延长线上取点P,使EP=EB.A是EP上一点，过A作O O的切线AD切点为D,过D作DF丄AB于F,BH交AD的延长线于图代13-3-18(1) 若AE=2求AD的长.(2) 当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时，①是否总有如二豆？试证明AH FH 你的结论；②设ED=x BH=y求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围..‘ 2 2 5 2 939.已知二次函数y=x - (m -4m )x - 2(m -4m )的图象与x轴的交点为2 2A, B (点A在点B右边)，与y轴的交点为C.(1)若厶ABC为Rt △,求m的值；(2)在厶ABC中，若AC=BC求/ ACB的正弦值；(3)设厶ABC的面积为S,求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19 ,在直角坐标系中，以AB为直径的O C交x轴于A,交y轴于B ,满足OA： 0B=4： 3,以0C为直径作O D,设O D的半径为2.过B作AD的垂线图代 13-3-19(1) 求O C 的圆心坐标.(2) 过C 作O D 的切线EF 交x 轴于E ,交y 轴于F ,求直线EF 的解析式.(3) 抛物线y =ax 2 • bx • c (a 丰0)的对称轴过 C 点，顶点在O C 上，与y 轴交 点为B,求抛物线的解析式.141.已知直线y x 和y = _x 亠m ，二次函数y = x 2 • px • q 图象的顶点为 M.1(1)若M 恰在直线yx 与y 二-x • m 的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数y =x 2 • px q 的图象与直线 y - -x • m 总有两个不同的交点• (2)在(1)的条件下，若直线 y =-x + m 过点D (0, -3 ),求二次函数y =x 2 px q 的表达式，并作出其大致图象图代 13-3-20(3) 在(2)的条件下，若二次函数y = X 2 • px • q 的图象与y 轴交于点C ,与x同1的左交点为 A ,试在直线yx 上求异于M 点P,使P 在厶CMA 勺外接圆上• 242.如图代13-3-20，已知抛物线 y = -x 2 ax - b 与x 轴从左至右交于 A , B 两点， 与 y 轴交于点 C,且/ BAC a ，/ ABC 邛,tg a -tg 3 =2, / ACB=90 . (1) 求点C 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)若抛物线的顶点为P,求四边形ABPC勺面积.3-43m 42/ Q<3m .丿’参考答案动脑动手1. 设每件提高x元（o w x< 10）,即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售件，设每天所获利润为y元，依题意，得y =（2 x）（100 - 10x）--10x280x 20010(x -4)2360.(100-10X )•••当x=4时（0w x< 10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360 元.2( 4 12. T y = mx — 3m 十一x 十4 ,I 3丿，•••当x=0 时,y=4.当mx2=3, m24 3m即抛物线与y轴的交点为（0, 4）,与x轴的交点为A （3, 0）, B —,0 !. 3丿(1) 当AC=BC时,4 c 43, m . 3m 9y _ - 4 x2 49(2) 当AC=AB寸,AO =3,OC =4, AC =5.3 - 43m =5.1 2m1 ,m2 .6 3当m =］时，yu^x2—11* *；6 6 62当m 时，3(3)当AB=BC|x 4.7d = m 2 +3 _2 = m 2 ” ,m(3) ①当 d=10 时，得 n i =9.Ay =x 2 -14x 24 =(x -7)2 -25.该抛物线的对称轴是直线 x=7，顶点为(7, -25 ), • AB 的中点E ( 7, 0) 过点P 作PM L AB 于点M ，连结PE1则 PE AB =5,PM 2 =b 2,ME 2 =(7-a)2,(7 _a)2b 2 =52 .•••点PD 在抛物线上,可求抛物线解析式为_8x 2 44x . 4. 721「8x 2 fx 4.7 21.--x 24,y Jx 29 611 2 22 …x 4, y x x 4 或 6 332 2 23. ( 1)T .： -[_(m —5)] _4(2m 6)2 2=m 2m 1 = (m 2 1)2 0图代 13-3-21•••不论m 取何值，抛物线与 x 轴必有两个交点. 令 y=0，得 x 2 - (m 25)x 2m 2 6 = 0(x _2)(x _m 2 _3) = 0，x 1 = 2, x 2 = m 23 .•两交点中必有一个交点是(2)由(1)得另一个交点A (2, 0).B 的坐标是(卅+3,0 )2 2+10 0,A d=m+1. (2, 0), B (12, 0)b =(a -7)2 一25.解①②联合方程组，得 b i = _1,b 2 =0.当b=0时，点P 在x 轴上，△ ABP 不存在，b=0,舍去.••• b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程②厶ABP 为锐角三角形时，则-25 < b ：：：-1 ;△ ABP 为钝角三角形时，则 b -1，且b 丰0.同步题库一、填空题 1 2 1 2 1 1 2 1. y (x 2) , y (x 2) -3； 2. x 订；3. y =(x 3) -9 ； 4. 2 2 4 8y - -2(x-2)2； 5.互为相反数；6.y 轴，左，右；7.下，x=-1,(-1,-3) , x -1 ； c rm 「 -亠「亠^^ b 4ac — b b ,8.四，增大； 9.向上，向下，一一 , -------------- ,X = -——；10.向下，(h,0 ), x=h ；2a 4a 丿 2a二、选择题 16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题、, 231.解法一：依题意，设 M(X 1, 0), N(x 2, 0),且 X 1^X 2,则刘,X 2为方程 x +2ax-2b+1=0 的两个实数根，X 1 X 2 = —2a , X 1 • X 2 = _2b 1.••• X 1, X 2又是方程-x 2・(a-3)x b 2 -1=0的两个实数根,1+X 2=a-3 , X 1 • X 2=1-b 2.—2 a = a — 3,厂 2b+1 =1_b 2.当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，•- a=1, b=0 舍去. 当a=1； b=2时，二次函数 厂X 2x -3和y - -x 2 - 2x 3符合题意.a=1 , b=2.11.-1 , -2 ； 12.x：：：-1 ； 13.-17 , (2, 3)； 14. x+t 3 15.10.解得丽1, b = 0; a =1, b = 2.解法二：•二次函数y = x2• 2ax -2b T的图象对称轴为x = -a ,二次函数y =-x2 (a -3)x b2 -1的图象的对称轴为又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M N•••两个二次函数图象的对称轴为同一直线.a -3-a .2解得 a =1.•两个二次函数分别为y = x2• 2x _2b 1和y = _x2 _ 2x b2 -1 .依题意，令y=0,得2x 2x -2b 1 = 0 ,2 2-x -2x b -1=0.①+②得b2 -2b =0.解得 d = 0, b2 = 2 .f A f Aa =1 a = 1,…丿或*b = 0; b= 2.当a=1, b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，•- a=1, b=0 舍去.2 2当a=1, b=2时，二次函数为y =x ，2x-3和y - -x - 2x 3符合题意.a=1 , b=2.32.解: y = ax2 bx c的图象与x轴交于点 B (X1, 0), C (X2, 0),b cx-! x2,x1 x2.a a2 2 2又T X1 X2 =13 即(X1 X2)-2x1X2 =13 ,(丄)2-2 C=13.a a一1又由y的图象过点A ( 2, 4),顶点横坐标为一，则有24a+2b+c=42a解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.y=_x2+X +6.与x 轴交点坐标为(-2 , 0), (3, 0).与y 轴交点D 坐标为(0, 6).设y 轴上存在点 P,使得△ POB^^ DOC 则有(1) 当 B (-2 , 0), C ( 3 , 0), D ( 0 , 6)时，有 OB OP ,OB = 2,OC = 3,OD = 6 . OC OD P 坐标为(0 , 4)或(0 , -4 ). (0 , 4)时，可设过P, B 两点直线的解析式为 y=kx+4.••• OP=4 即点 当P 点坐标为 • OP=1这时 当P 点坐标为0=-2k-4.k=-2.y=-2x-4.OBODP 点坐标为(0 , 1 )时，可设过 1) QP M Q B =2,0D =6,0C =3. QC i 或(0 , -1). P, B 两点直线的解析式为 y=kx+1.0=-2k+1.当P 点坐标为-1 ）时，可设过kJ . 2 1 y x 1. 2P , B 两点直线的解析式为y=kx-1 , 0=-2k-1 (2)0)，C(-2，-1 2y 」x-1. 20), D (0 , 6)时，同理可得y=-3x+9 ,y=3x-9 y - -1 x 1 , 3y 」x-1. 333.解：（1）在直线 令y=0 ,得 x=4.• A 点坐标为（4 , 0）.y=k(x_4) 中, / ABC=90 .△ CB»A BAQ0!喘，即。