1初二春季·第11讲·尖子班·教师版方程11级 解特殊复杂方程方程12级 特殊根问题 方程6级方程13级 根系关系及应用题春季班 第十一讲春季班 第九讲考古发现满分晋级阶梯漫画释义11根系关系及应用题2初二春季·第11讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标根与系数关系 例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3； 一元二次方程的应用题例4；例5；例6；演练4；演练5．本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。

编写思路题型切片知识互联网3初二春季·第11讲·尖子班·教师版一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】 ⑶352+，352-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+思路导航例题精讲典题精练题型一：根与系数关系4初二春季·第11讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵12127122x x x x +=-=，⑶1212223x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是14m ≤．⑵由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =．∵12＞14，12m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x =∴ 0∆=，由⑴知14m =．故当22120x x -=时，14m =．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（北京八中期中试题）【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪∆=-+->⎨⎪≠⎩∴32m >-且0m ≠且1m ≠-．⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=方法二：12222133410x x x x ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==5初二春季·第11讲·尖子班·教师版【探究对象】根系关系的进一步应用【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．②当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0ba -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？ （2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．6初二春季·第11讲·尖子班·教师版【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+ 223410k k =--+=-<∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末） A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x +=C ．215002160x =D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销典题精练例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题7初二春季·第11讲·尖子班·教师版售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-= 解得：121030x x ==，答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图①图②分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ；矩形ABCD 的面积为_____________cm 2； ⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则552332x x ==，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm.【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n 的取值范围）⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； ⑷ 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．8初二春季·第11讲·尖子班·教师版...n=3n=2n=1【解析】⑴ 3n +；2n +． ⑵ (3)(2)y n n =++，即256y n n =++．⑶ 当y =506时，256506n n ++=，即255000n n +-=解得122025n n ==-，（舍去）． ⑷ 白瓷砖块数是(1)20(201)420n n +=⨯+=（块）．黑瓷砖块数是50642086-=（块）． 共需86442031604⨯+⨯=（元）． ⑸ 2(1)(56)(1)n n n n n n +=++-+化简为2360n n --= 解得12333333022n n +-==<，（舍去）． ∵n 的值不为正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．【例7】 关于x 的方程20x px q ++=的两根和为1s ，两根的平方和为2s ，两根的立方和为3s ，试求321s ps qs ++的值． 【解析】 设方程的两根为1x 、2x ，则12x x p +=-，12x x q =．∴1s p =-，()2222212121222s x x x x x x p q =+=+-=-．()()()233231212121233s x x x x x x x x p p q ⎡⎤=+=++-=--⎣⎦33pq p =-．∴()()32321320s ps qs pq p p p q q p ++=-+-+-=．真题赏析9初二春季·第11讲·尖子班·教师版训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，⑴ 求m 的取值范围;⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）【解析】 由()()23x x m --=，整理，得 2560x x m -+-=． ⑴ ∵方程有两个实数根，∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得14m -≥ ．⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ，∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩≥ ∵121210x x x x --+=∴114650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么b aa b+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()224410210210210t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩Δ≥≥，化简得22121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-． ⑵B ．提示：方法一：有两种情况：① 若a b =，则2b aa b+=；②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，思维拓展训练(选讲)10初二春季·第11讲·尖子班·教师版则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时21112511222b a a b +=+=． 方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b =或13.a b +=训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？ （西城期末）【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，所以 80100a <≤.由题意得 0.4(100)42150aa a +-=. 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．根据题意得()221251n n n ++=+解得：1255n n ==-，（舍） 所以这两个自然数为5和6⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，所以这个两位数为23或3211初二春季·第11讲·尖子班·教师版知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【解析】 ⑴D ；⑵7．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-， ()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则121x x k +=+，122x x k =+．∵22126x x +=，∴()2121226x x x x +-=．∴()()21226k k +-+=．解得13k =，23k =-．又()()2142k k ∆=+-+． 当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去．当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．复习巩固12初二春季·第11讲·尖子班·教师版题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则2200(1)128x -=，即10.8x -=±，解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==答：这种药品平均每次降价20%．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，则1612x -=或164x -=．答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．第十六种品格：诚信感恩对手读完《感恩对手》这本书后，它让我明白了对手的存在是一种必然。