计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：10|()()|(1)!n n n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。
22、求初值问题22,(1)0dyx y y dx=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。
23、coscos 0y y x y dx x dy x x⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 24、2221dyy dx x y ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭25、21210dy x y dx x-=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln yy y y y x=+-28、22dy y x dx xy-=29、222()0xydx x y dy +-= 30、3(ln )0ydx y x dy x++= 31220ydx xdyx y-==+ 32、(1)10x x yyx e dx e dy y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭33、213dy x y dx x y -+=++ 34、443()0x y dx xy dy +-=35、()22(2)0xy y dx y y x dy -+++= 36、3"10y y += 37、"'"'0y y y y -+-= 38、"'2"3'100y y y y --+= 39、(4)0y y +=40、(6)(4)2"20y y y y --+= 41、(4)"0y y -=42、(4)4"'8"8'30y y y y y -+-+= 43、(4)4"'6"4'0yy y y y -+-+=44、"xy y xe-+=45、2"3'4xy y y e ++=-解：对应齐次方程的特征方程为 22310λλ++=，特征根为 1211,2λλ=-=-， 齐次方程的通解为 1212x xy C eC e--=+由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如 1xy A Be =+的特解。
将1xy A Be =+代入已知方程，比较系数得 14,6A B ==- 即 146xy e =-，因而，所求通解为1212146x xx y C e C ee --=++-。
46、3"2'4(2)xy y y x e -+=+解：对应齐次方程的特征方程为 2240λλ-+=， 特征根为 1,21λ=±，齐次方程的通解为 12()x y e C C =+由于3不是特征根，故已知方程有形如 31()xy e Ax B =+的特解。
将31()xy e Ax B =+代入已知方程，比较系数得 110,749A B ==即 31110749xy e x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因此，已知方程的通解为312110()749x x y e C C e x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭。
47、2613(52)tx x x e t t ++=-+ 48、tx x e -= 49、2"2'ts as a s e ++= 50、2441t tx x x e e -+=++ 51、"4'10y y ++=52、"'3"3'(5)xy y y y e x -+++=- 53、"3'2sin cos y y x x +=+ 54、22225sin (0)x kx k x k kt k ++=≠55、"sin cos y y x x += 56、"2'2cos x y y y ex --+=解：对应齐次方程的特征方程为 2220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，齐次方程的通解为 ()12cos sin xy e C x C x =+由于1i -±不是特征根，故已知方程有形如 1(c o s s i n )xy e A xB x -=+ 的特解。
将1(cos sin )xy e A x B x -=+代入已知方程，得 11,88A B ==-因此，所求通解为()121cos sin (cos sin )8x x y e C x C x e x x -=++-。
57、"2'10cos2xy y y e x --+= 58、sin ,0x x at a +=>59、22"5'cos y y x += 60、"4sin 2y y x x += 61、"2'34sin 2y y x +=+ 62、"2'24cos xy y y e x -+= 63、"918cos330sin3y y x x +=- 64、sin cos2x x t t +=- 65、22cos t x x x te t -+= 66、求微分方程22"'01y y y+=-的通解。
67、求1"'cos x y y xe x x=+的通解。
68、求微分方程2'""0y y y x x-+=的通解。
69、求微分方程2"(')'0xyy x y yy +-=的通解。
70、求微分方程"3'2sin xy y y e x -++=+的通解。
71、求微分方程221"4'4xy y y e x-+=的通解。
72、求方程2"4'5csc xy y y e x -+=的通解。
73、求微分方程2"2'20x y xy y +-=的通解。
74、求微分方程22"2'22x y xy y x +-=+的通解。
75、利用代换cos u y x=将方程 "cos 2'sin 3cos xy x y x y x e -+= 化简，并求出原方程的通解。
76、求下列线性微分方程组2244(1)22(2)tdx x y e dtdy x y dt-⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩77、解下列微分方程组1122223322(1)(2)2(3)dy y y dx dyy y dx dy y dx ⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=⎪⎩的通解。
78、5445dyy z dxdz y z dx ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩79、3452dxx y dtdy x y dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩80、254342x y y x x y x y-=-⎧⎨-=-⎩计 算 题 答 案１、解：对应的齐次方程y '+2xy=0的通解为y=ce -x2(4¹) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e -x 2代入方程y ¹+2xy=2xe -x 2得c ¹(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (3¹）所以原方程的通解为y=(x 2+c)e -x 2(1¹)２、解：按初始条件取 0()0y x ≡221000()[()]2wx y x y x y x dx =++=⎰2522010()[()]220w x x y x y x y x dx =++=+⎰2581123020()[()]2201604400w x x x x y x y x y x dx =++=+++⎰3、解：对应的齐次方程为"'-20y y y +=特征方程为2+20λλ-=解得 1,-2λ= 对应的齐次方程通解为212x x Y c e x e -=+ （2¹）设方程的一个特征解为y 1=Ae -x则y 1¹=-Ae-x,y 2¹=Ae -x代入解得A=-1/2从而11y 2xe -=- （2¹）故方程的通解为2 11212x xx y Y y c e c ee --=+=+- （2¹） 4、解：它的系数矩阵是A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥0121特征方程||A E -=--=λλλ1210或为λ2-10λ+9=0 （2¹） 特征根λ1=1,λ2=9原方程对应于λ1 =1的一个特解为y 1=e t ,x 1=-e t （2¹） 对应于λ2=9的一个特解为y 1=e 9t ,x 1=e 9t （2¹）∴原方程组的通解为x c e c e y c e c et tt t=+=-+⎧⎨⎩--1221222 （2¹）5、解：对应的齐次方程 y ¹+2xy=0的通解为y=ce-x 2 (4¹) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e -x 2代入方程y ¹+2xy=4x 得c ¹(x)=4e x 2x 因此有c(x)=2e x 2+c (3¹）所以原方程的通解为y=(2e x 2+c)e -x 2(1¹)6、解：取120010()0,()()[()]n n y x y x y x x y x dx -==+-⎰则2101y ()22xx x xdx ==-⎰ 2253220111y ()222062430x x x x x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=-++--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 因此，第二次近似解为 532211y ()2062430x x x x x =-++--。