圆锥曲线综合练习一、 选择题：1.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( )A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8【解析】由242(10)()2m m ---=，得8m =,故选：D2．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ )A B.12 C D ．23【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a所以e . 3.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１ 答案:C4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B D 答案:D５．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ）A 答案:Ｄ6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ )Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ )A ．22或２ Ｂ.7 Ｃ．２２ Ｄ.2【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．8．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则||||PM PN -的最大值为（ ) Ａ．6 B ．７ Ｃ．８ D.9【解析】设双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F ，,则圆22(5)4x y ++=的圆心为1F ,半径12r =.圆22(5)1x y -+=的圆心为2F ,半径21r =．所以max 111||||||2PM PF r PF =+=+,min 222||||||1PN PF r PF =-=-． 由双曲线定义得12||||6PF PF -=，所以max 12(||||)||2(||1)9PM PN PF PF -=+--=．故选:D9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( )A ．2 B.４ C.8 D ．1６【解析】准线方程为x p =-,由已知得810p +=,所以2p =，所以焦点到准线的距离为24p =．1０．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，,向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为( ） AB1 C11 【解析】设正ABC △的边长为2，向量12DE BC =,则D E ，分别是AB AC ，的中点.由双曲线定义知||||2BE EC a -=，所以a 1c =所以离心率1ce a=．故选：Ｄ 11.两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是且a b >,则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ) A ．5(0)16-， Ｂ.2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 【解析】依题意得920a b ab a b +=⎧⎪=⎨⎪>⎩,解得54a b ==，,所以抛物线方程为254y x =-，其焦点坐标为1(0)5-，,故选：C1２.已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为( ）Ａ.49 B ．23 C ．595【解析】设00()P x y ，，则000049y y x a x a ⋅=-+-,化简得220022149x y a a+=，可以判断2249b a =，2451()19b e a =--故选:Ｄ13.已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆 上,且满足0OA OB +=（O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=,若椭圆的离心率等于22， 则直线AB 的方程是（ ) Ａ． 2y = B ．2y = Ｃ.3y = D ．3y 答案:A14.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．3 B 17 Ｃ5 D ．92答案:B15.若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数)有共同的焦点F 1,F ２,Ｐ 是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅等于ﻩﻩ( ）A ．m p +ﻩB ．p m - C.m p - D ．22m p -答案：Ｃ16.若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点,且满足20a b ->，20a b +>,则该点P 一定位于双曲线（ )A.右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 Ｄ．不能确定 答案:Ａ１7.如图,在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=,AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点,且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A.3 ﻩＢ.1 ﻩC ．32Ｄ.2答案:A【解析】设c AB 2||=， 则在椭圆中,而在双曲线中,1８.221+=表示的曲线是（ )A.焦点在x 轴上的椭圆 Ｂ.焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。

.0)(<*∴式即曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，故选：C1９．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PFπ∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ,O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 ( ) A ．2 B.3 C.4- 1【解析】由题意知点P 在圆222x y c +=上，由22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消ｙ得224222P c a a x c -=, 又因为△F 1OQ 与四边形ＯF２PQ 的面积之比为１: 2,可得221112||||1||2,,2,||||3||34p p P FO OQ OQ c FQ QP x F F y y =∴=∴=∴=,2242422222,840,44)4c a a c e e e e c -=∴-+=∴=-=+舍, 1e ,故选:Ｄ20．已知双曲线方程为2214y x -=,过(21)P -，的直线Ｌ与双曲线只有一个公共点，则直线l的条数共有（ ) A.4条 B.3条 Ｃ．2条 D ．１条 答案：Ｃ２1.已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )ﻩﻩB ﻩﻩD ．答案：C22．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数,那么以a b m ，，为边长的三角形是( ） A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 Ｄ．等边三角形 答案:C23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =,若抛物线上点P 满足PA m PB =,则m 的最大值为( )Ａ.3 Ｂ.2 C Ｄ 【答案】C２4.设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（ )A ．12 Ｂ.23 C ．34 D.45答案：C25.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ， 两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）B ．C ．4 D.８答案:C2６．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，P 为C 准线上一点,则ABP △的面积为（ )A ．１8B ．24 C.3６ D.48 答案：C27.中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，,则它的离心率为( )Ｂ C答案：D2８．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率,则ab的值为( ) ＡＢ. C ．Ｄ.【答案】A【解析】设1122()()A x y B x y ，，，,AB 的中点00()M x y ，,代入椭圆方程作差整理后29.若椭圆221(00)x y m n m n+=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ） Ａ.1) B．(0 Ｃ.1)Ｄ．(0 答案：D30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点,A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则( ） A ．2t = B ．2t > Ｃ.2t < D ．t 与2的大小关系不确定 答案：Ａ３1.如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ,若||2||BC BF =，且||3AF =,则此抛物线方程为（ ） A ．29y x = B.26y x = C.23y x =Ｄ．2y【解析】分别过点A B ，作准线的垂线，垂足为E D ，,因为||2||BC BF =, 所以由抛物线的定义可知30BCD ∠=，||||3AE AF ==，所以||6AC =,即F 为AC 的中点，所以13||22p EA ==，故抛物线的方程为23y x =,故选：C32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、,在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ D ）Ａ C.12Ｄ ３３．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ,满足12||2||2||MF MO MF ==,则该椭圆的离心率为（ ）A B.23D 【解析】过M 作x 轴的的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(0)2c，,并设12||2||2||MF MO MF ==2t =,根据勾股定理可知,2221122||||||||MF NF MF NF -=-,得到c =,而32ta =，则c e a ==,故选:C 34.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12||PF PF +的最小值是( ）A ．B ．２C ．1D ．０【解析】由2222x y +=，即2212x y +=,可得12(10)(10)F F -，，，,设()P x y ，([x ∈）则12(1)(1)(22)PF PF x y x y x y +=---+--=--，，，．所以，12||PF PF += 当且仅当0x =时,12||PF PF +取得最小值２．故选:B35．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切,则抛物线的顶点坐标为（ ) Ａ.(29)--， B ．(05)-， Ｃ.(29)-， D ．(16)-， 【解析】令抛物线上横坐标为1242x x =-=，的点为(4114)A a --，,(221)B a -，，则(114)(21)1262426AB a a ak a ----===----，则切线方程可设为(2)y a x b =-+由25(2)y x ax y a x b⎧=+-⎨=-+⎩消去y 得2250x x b +--=,由44(5)0b ∆=++=解的6b =-所以切线为(2)60a x y ---=又因为该直线与圆225536x y +=相切,65=，解得4a =或0a =(舍去)， 则抛物线方程为2245(2)9y x x x =+-=+-，顶点坐标为(29)--，,故选:A36.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅的最大值为（ )A ．2 B.3 C.６ Ｄ．8【解析】由题意,(10)F -，,设点00()P x y ，,则有2200143x y +=，截得22003(1)4x y =-.因为0000(1)()FP x y OP x y =+=，，，,所以2200000(1)34x OP FP x x y x ⋅=++=++. 此二次函数的对称轴为02x =-,因为022x -≤≤,所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值6,故选：C ．37．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，,则||||AB CD 的值为( ) A ．16 Ｂ．116 C.4 Ｄ.14答案:B38.如图，双曲线的中心在坐标原点O ,A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点,直线AB 与2，则BDF ∠的余弦是（ ) C D 【解析】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，所以离心率2ce a==,所以2c a b ===，. (0)(0)(0)(20)A C B a F a --，，，，，，，所以(3)(2)BA a a CF a ==-，，． 所以2cos cos ||||2BA CF BDF BA CF BA CF a ⋅∠=<>==⋅，故选：C３9.设双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，,若在双曲线的右支上存在一点P ,使得12||3||PF PF =，则双曲线C的离心率e 的取值范围为( ) A ．(12]， B.2] C.2) D.(12)， 【解析】由双曲线定义知12||||2PF PF a -=，所以12||3||PF a PF a ==，． 因为1212||||||PF PF F F +≥,即42a c ≥，所以2ce a=≤，又因为1e >，故选:A 40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点,若AB ∥x 轴,且12x x <,则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3， B.8(4)3， C ．10(4)3， Ｄ．11(5)3，【解析】由2224143y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 由AB ∥x 轴，且12x x <，得2223x <<，21||AB x x =-．又由(10)N，是抛物线24y x =的焦点，得1||1AN x =+,而21||22BN x =-故NAB △的周长21||||||32l AN AB BN x =++=+,又2223x <<，于是1043l <<． 41.2=e ，右焦点(0)F c ，,方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ,则点12()P x x ，在（ ） A ．圆1022=+y x 内 B.圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 Ｄ．以上三种情况都有可能【解析】因为2222212121222()2()2b c b acx x x x x x a a a ++=+-=-+=又因为2222ce a b c a==+=，,所以2c a b ==，可得222121212()2710x x x x x x +=+-=<,故选:A. 42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点Ｆ作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若Ｍ为线段FP 的中点， 则双曲线的离心率是( ）A B Ｃ．2ﻩ D 答案:A４３．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C.ﻩﻩﻩD ．答案:C4４.已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心,a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是（ )Ａ B 答案:Ｃ45.的左准线l ，左.右焦点分别为F 1.F ２,抛物线C 2的准线为l ,焦点是F ２，C １C 2P,则|PF 2|的值等于（ ）Ｃ．4ﻩ D ．8 答案:B4６．已知Ｆ1、F 2是双曲线 12222=-by a x (a ＞0，b>0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1Ｆ２，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ) A ．４+32 Ｂ．3＋１ Ｃ.3—1 D ．213+答案：Ｂ4７.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点Ｂ(0，b),若-=+,则该双曲线离心率ｅ的值为( ）Ａ.213+ ＢC.215- D ．2答案:B4８．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线，以原点Ｏ为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为２:1的两段，则双曲线的离心率为（ ) A.Ｂ.C.2D ．答案:D49.从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ,延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 Ａ.a b MT MO ->- ﻩﻩ ﻩ B.a b MT MO -=- C.a b MT MO -<- ﻩﻩ ﻩＤ.不确定.答案:B５0.点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点,且12212F PF F PF ∠=∠,其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为（ )A.3 ﻩﻩB ．21+ ﻩ C ．13+ ﻩﻩD ．2 答案：C51.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:３：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或２C ．12或2 Ｄ．2332或 【解析】当曲线为椭圆时121231422F F e PF PF ===++;当曲线为双曲线时121233422F F e PF PF ===--,答案选A ．52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ) ＡBＣ．b a D.ab答案:B二、填空题：53.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点.若22||||12F A F B +=,则||AB = ．【解析】由椭圆定义可知：1212||||210||||210F A F A a F B F B a +==+==，, 所以1122||||||20||||8AB F A F B F A F B =+=--=． 5４.中心在原点,焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 . 【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>,由题意得2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩,则2223b a c =-=，故椭圆方程为22143x y +=.55.９.已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .答案:４５6.已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点,且1260F PF ∠=,则12F PF △的面积是 ． 【解析】由12243tan30F PF S b ==△． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为. 【解析】焦点(0),即c =2e ==22223a b c a ==-=， 所以双曲线方程为22143x y -=．５8．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 . 【解析】由题意可知渐近线方程为32b y x x a =±=±，所以可知2294b a =,所以双曲线的离心率c e a =59.已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ,且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．【解析】根据已知得点22()b P c a ±，，则22||b PF a =，又1230PF F ∠=,则212||b PF a =． 故22122||||2b b PF PF a a a -=-=，所以222b ba a==，，所以该双曲线的渐近线方程为y =６０．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= ． 答案：2061.已知圆22:68210C x y x y ++++=,抛物线28y x =的准线为l ,设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为 ． 答案6２．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ,右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则AFB △的面积为 . 【解析】双曲线221916x y -=的右焦点(30)A ，,右焦点(50)F ，，过点F 平行双曲线的一条渐近线43y x =的直线4(5)3y x =-与双曲线交于点1732()55B -，，AFB △的面积为3215.63.已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 .【解析】由抛物线定义知||||1PD PF =-,则||||||||1PD PQ PQ PF +=+-， 故当Q P F ，，三点共线时,||||PQ PF +最小，所以||||11PD PQ +==三、解答题:64．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为12F F ，，点P 在椭圆C 上,且12PF PF ⊥,14||3PF =,214||3PF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，,交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程．解：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以122||||63a PF PF a =+==，. 在12Rt PF F △中,12||F F故椭圆的半焦距c 2224b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22194x y +=(Ⅱ）解法一：设A B ，两点的坐标分别为1122()()x y x y ，，，. 若直线l 斜率不存在，显然不和题意．从而可设过点(21)M -，的直线l 的方程为(2)1y k x =++， 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得,2222(49)(3618)3636270k x k k x k k +++++-=所以2212122236183636274949k k k k x x x x k k ++-+=-=++，． 又因为点M 是线段AB 的中点， 所以21221892249x x k kk ++=-=-+．解得89k =,所以直线l 的方程为8(2)19y x =++. 即89250x y -+=(经检验，所求直线方程符合题意）． 解法二:设A B ，两点的坐标分别为1122()()x y x y ，，，. 由题意知12x x ≠，且2211194x y += ①2222194x y += ② 由①-②得121212124899y y x x x x y y -+=-=-+，即直线l 的斜率89k =.又直线l 过点(21)M -，，所以直线l 的方程为81(2)9y x -=+,即89250x y -+=. 65.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，.(Ⅰ)求抛物线C 的方程，并求其准线方程;（Ⅱ）是否存在平行于OA (O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L若存在,求直线l 的方程;若不存在，请说明理由. 解:（Ⅰ)将(12)A -，代入22y px =,得2(2)2p -=,解得2p =,故所求抛物线方程为24y x =，其准线方程为1x =-.（Ⅱ)假设存在符合题意的直线l ,设其方程方程为2y x t =-+，由224y x t y x=-+⎧⎨=⎩，得2220y y t +-=, 因为直线与抛物线有公共点,所以480t ∆=+≥，得12t -≥.又两平行线的距离d ==1t =±，舍去1t =-， 所以符合题意的直线l 存在,其方程为210x y +-=．6６．已知抛物线22(0)x py p =>.(Ⅰ)已知P 点为抛物线上的动点,点P 在x 轴上的射影是点M ,点A 的坐标是(42)-，,且||||PA PM +的最小值是4． （ⅰ）求抛物线的方程；(ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ,过点E 作抛物线的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点,连接AO BO ，并延长分别交抛物线的准线于C D ，两点,求证:以CD 为直径的圆过焦点F ．解:（Ⅰ）（ⅰ)如图,有抛物线定义可知||||2pPM PF =-，所以||||||||||22p pPA PM PA PF AF +=+--≥．因为A 在抛物线外,且当P A F ，，三点共线时, ||||PA PM +取得最小值,所以此时||42pAF -=.因为(42)A -，,(0)2pF ，,42p =，所以2p =．故抛物线的方程为24x y =．（ⅱ)由(ⅰ)知,抛物线焦点为(01)F ，,抛物线准线与y 轴交点为(01)E -，.显然过点E 的抛物线的切线的斜率存在，设为k ，则切线方程为1y kx =-． 由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩,消去y 得,2440x kx -+=,由216160k ∆=-=，解得1k =±．所以，切线方程为1y x =±-．(Ⅱ)由题意知,直线l 的斜率显然存在,设直线l 的方程为02py k x =+， 设1122()()A x y B x y ，，，. 由2022x py p y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 得,22020x pk y p --=,且2220440p k p ∆=+>． 所以2120122x x pk x x p +=⋅=-，．因为11()A x y ，,所以直线OA 的方程为11y y x x =与2py =-联立可得11()22px p C y --，. 同理可得22()22px p D y --，． 因为，焦点(0)2pF ，，所以11()2px FC p y =--，，22()2px FD p y =--，所以，224422222121212222121212120224422px px p x x p x x p p FC FD p p p p p x x y y y y x x p p p⋅=⋅+=+=+=+=+=-⋅⋅ 所以，以CD 为直径的圆过焦点F .67．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．(Ⅰ）设12F F ，分别为椭圆C 的左、右焦点，证明:当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值;(Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1，求椭圆C 的标准方程;（Ⅲ）若直线l :y kx m =+与(Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点),且满足22AA BA ⊥,证明：直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 解：(Ⅰ）设点P 的坐标为()x y ，，令2221()||()f x PF x c y ==++．又点P 在椭圆C 上，故满足22221x y a b +=，则22222b y b x a =-.代入()f x ,得222222222()()2b c f x x c b x x cx a a a =++-=++.则其对称轴方程为2a x c=-，由题意，知2a a c -<-恒成立，所以()f x 在区间[]a a -，上单调递增．所以当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时1||PF 取得最小值与最大值. （Ⅱ)由已知与（1）,得3a c +=,1a c -=,所以21a c ==，．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(Ⅲ）如图所示，设11()A x y ，、22()B x y ，，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=则22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->即2234k m +-212122284(3)3434km m x x x x k k -+=-=++， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+.因为椭圆的右顶点为222(20)A AA BA ⊥，，．所以,1212(2)(2)0x x y y --+=，所以1212122()40y y x x x x +-++= 所以,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++所以,2271640m km k ++=解得12227km k m =-=-，,且均满足22340k m +->． 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾． 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，， 所以直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，.６8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，左、右交点分别为12F F ，，抛物线2y =的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ）已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ，两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果时,求出定点的坐标;如果不是，请说明理由.解:(Ⅰ)因为椭圆C的离心率e =，所以c a =a =.因为抛物线2y =的焦点0)F 恰好是椭圆C 的一个顶点,所以11a c b ===，． 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．(Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时,因为直线l 与圆O 相切,故切线方程为x =或x =.由2212x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得A B ，．则以AB为直径的圆的方程为222(3x y +=,过点(00)，.由2212x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得((A B ''，．则以A B ''为直径的圆的方程为222(3x y ++=,也过点(00)，． 显然两圆相切于点(00)，． ②当直线l 的斜率为零时，因为直线l 与圆O相切，故切线方程为y =或y =．由2212y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得(A B ，．则以AB为直径的圆的方程为222(3x y ++=,也过点(00)，.由2212y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得(A B ''，.则以A B ''为直径的圆的方程为222(3x y +=，也过点(00)，． 显然以上两圆相切于点(00)，． ③当直线l 的斜率存在且不为零时, 设直线\的方程为y kx m =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=. 设1122()()A x y B x y ，，，.则21212224222121km m x x x x k k -+=-=++，. 所以22221212121222()()()21m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+.所以2212122322(1)21m k OA OB x x y y k --⋅=+=+因为直线l 和圆O 相切,所以圆心到直线l的距离d ==,整理 得222(1)(2)3m k =+将(2)式代人(1)式，得0OA OB ⋅=,显然以AB 为直径的圆经过定点(00)，． 综上,可知以为AB 直径的圆过定点(00)，.。