等差数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。

知识回顾：1．定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。

用递推公式表示为( 2)a n n 或a n 1 a n d(n 1) 。

（证明数列是等差数列的关键）a 1 d n2．通项公式：等差数列的通项为：a n a1 (n 1)d ，当d 0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。

推广：a n a m (n m)d3．中项：如果a ，A，b 成等差数列，那么A叫做a 与b 的等差中项；其中a bA 。

24．等差数列的前n项和公式n(a a ) n(n 1)1 nS na d 可以整理成S n＝n 12 2 d22＋ a d )nn ( 1 。

当d≠0时是n 的一个常数2项为0的二次函数。

5．等差数列项的性质（1）在等差数列a中，若m ，n ，p ，q N 且m n p q，则am a n a p a q ；特n别的，若m ，p ，q N 且2m p q ，则2a m a p a q 。

（2）已知数列a n , b n 为等差数列，S n ,T n 为其前n 项和，则anbnS2nT2n11（3）若等差数列的前n 项和为S n ，则n, S S ,S S ,S 也成等差数列，公差d n d' 22n n 3n 2n；S ,(n 1)1an S S（4）,(n 2)n n 1；（5）若数列{ a n }是公差为 d 的等差数列，则数列S nn 也是等差数列，且公差为______。

快乐每一天，收获多一点。

第 1 页共7 页考点分析考点一：等差数列基本量计算例 1、等差数列 {a n } 中， a 1 3a 8 a 15 120 ，则 3a 9 a 11 的值为 练习 （1）设 S n 是等差数列 a 的前 n 项和．已知 a 2 ＝3， a 6 ＝11，则 S 7 等于nA ．13B ．35C ．49D ．63 （2）数列 a n 为等差数列，且 aa， a 30 ，则公差 d ＝72 41A ．－2B ．－ 12 C ． 1 2D ．2（3）在等差数列 a 中，已知 a 3 2 ，则该数列的前 5 项之和为nA ．10B ．16C ．20D ．32（4）若等差数列 { a n } 的前 5 项和 S 5＝25，且 a 2＝3，则 a 7 等于 ()A ．12B ．13C ．14D ．151（5）记等差数列 { a 2，S 4＝20，则 S 6 等于()n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝A ．16B ．24C ．36D ．48（6） a 的前 n 项和为 nS ，若 a 1 2 ， S 3 12 ，则 na 等于 ()6A ．8B ．10C ．12D ．14考点二：等差数列性质应用例 1、等差数列 a 中， 3( a 3 a 5 ) 2(a 7 a 10 a 13) 24 ，则该数列前 13 项的和是 ()nA ．13B ．26C ．52D ．156练习 1、在等差数列 a n 中， a 1 a 9 10 ，则 a 5 的值为A ．5B ．6C ．8D ．64 2、在等差数列 { a } 中, naa a ，则 12, 3 5 10a（）7A ．5B ．8C ．10D ．143、设数列 { a n } 是等差数列，若 a 3＋a 4＋a 5＝12，则 a 1＋a 2＋⋯ ＋ a 7 等于()快乐每一天，收获多一点。

第2页共 7 页A．14 B．21 C．28 D．35例2、设等差数列{a n} 的前n 项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9 等于( )A．63 B．45 C．36 D．27练习、已知等差数列{ a n} 的前n 项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.S2 014 例3、已知S n 是等差数列{a n}的前n 项和，若a1＝－2 014 ，2 014 ________.S2 008－2 008＝6，则S2 016 ＝练习、(1) 已知等差数列{a n} 的前n 项和为Sn，且满足S3 S2－＝1，则数列{a n} 的公差是3 2( )A. 12 B．1 C．2 D．3例4、设S n ,T n 分别是等差数列a n 、b n 的前n项和，S7n 2n ，则T n 3na5b5。

例5、已知等差数列a的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之n和为25，则这个数列的项数为________。

练习1、若一个等差数列前 3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13 项B．12 项C．11项D．10 项2、等差数列a的公差d 2，a1 a4 a7 a97 50，那么a3 a6 a9 a99 =nA．－78 B．－82 C．－148 D．－182考点三：等差数列的证明例1：在数列{ a n} 中，a1 1， an 1114an，bn22a 1n，其中n N * .（1）求证：数列{ b n} 是等差数列；（2）求证：在数列{ a n } 中对于任意的*n N ，都有a n a n 1快乐每一天，收获多一点。

第 3 页共7 页练习1、数列a满足a1 1，a2 2，a n 2 2a n 1 a n 2 。

n（1）设b 1 ，证明b n 是等差数列；n a an n（2）求数列a的通项公式。

n2、已知数列{ a n} 中，a1＝35，a n ＝2－1( n≥2，n∈N n} 满足b*) ，数列{ bn＝a n－11( n∈a n－1N n}是等差数列；* ) ．求证：数列{ b2an3、数列a n 满足：a1 2 ， 1 n N 。

求证：a n ，a 2n1an是等差数列；小结与拓展：（1）定义法：a n 1 a d （n N ，d 是常数）a n 是等差数列；n（2）中项法：2a n 1 a n a n 2 ( n N ) a n 是等差数列；（3）通项公式法： a kn bn （k,b是常数）a n 是等差数列；（4）前n 项和法：S n＝ 2kn ＋bn（k, b 是常数）a n 是等差数列值考点四：等差数列前n 项和的最快乐每一天，收获多一点。

第4页共7 页（1）a1 0 ，d 0时，S n 有最大值；a1 0 ，d 0时，S n 有最小值；（2）S n 最值的求法：①若已知S n ，可用二次函数最值的求法（n N ）；②找到正负项分界的是第几项。

例1、数列a中，an 2n 49 ，当数列a n 的前n项和S n 取得最大值时，nn练习1、设等差数列a的前n 项和为Sn ，若a1 11，a4 a6 6，则当S n 取最小值时nn 等于( )A．6 B．7 C．8 D．92、若等差数列a n 满足a7 a8 a9 0 ，a8 a9 0 ，则当n ________时a n 的前n项和最大。

例2、在等差数列a中，a1 7，公差为d，前n 项和为S n ，当且仅当n＝8 时，S n 取得n最大值，则 d 的取值范围为________。

例3、等差数列a中，a1 0 ，前n项和为S n ，且仅当S5 S12 ,则当n 时，S n 取最大n值。

练习1、设数列a是等差数列，且a2 8 ，a15 5 ，S n 是数列a n 的前n 项和，则（）nA．S10 S11 B．S10 S11 C．S9 S10 D．S9 S102．设a n (n N ) 是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S5 S6 , S6 S7 S8 则下列结论错．误．的是（）A．d 0 B.．a7 0 C．S9 S5 D．S6 与S7 均为S n 的最大值考点五：等差数列和项转换 an a1Sn( nSn1)(n12)12 ，求例1、已知数列a n 的前n 项和为S n nn 2 a 。

n2练习1、已知数列a n 的前n 项和为n 2 ，求a n 。

S n快乐每一天，收获多一点。

第 5 页共7 页2、设数列{ a n} 的前n 项和 2S n ，则a8 的值为（）nA．15 B．16 C．49 D．64习题15.2 1、在等差数列a n 中，（1）已知a1 2,d 3,n 10,求a ；n（2）已知a a n 21, d 2,求 n3,1 ；（3）已知a 12, a 27,求d1 ；6（4）已知1d ,a7 8,求a 。

132、在等差数列{ a n }中，（1）已知S8 48, S12 168，求a1, 和d（2）已知a6 10, S5 5 ，求a8 和S8（3）a1 20, a n 54, S n 599, 求 d 及n；（4）1d , n 37, S n 629,求a1及an3；5 1（5）a ,d,S n 5,求n及a n1 ；6 6（6） d 2,n 15, an 10, 求a1及S 。

n3、等差数列{ a n } 的前n 项和记为S n ，已知a10 30, a20 50 。

（1）求通项公式{ a n} ；快乐每一天，收获多一点。

第 6 页共7 页（2）若S 242 ，求n 。

n4、设S n 为等差数列{ a n} 的前n项和，若S3 3，S6 24 ，则a95、等差数列{a n } 的前n 项和S n ，若a1 2, S3 12 ，则a6 ( )A．8 B．10 C．12 D．146、已知道单调递增的等差数列a n 的前三项和为21，前三项积为231，则a n7、在等差数列a n 中，a5 120 ，则a2 a4 a6 a88、数列a中，a n 2n 49 ，当数列n a 的前n项和S n 取得最大值时，nn9、数列a n 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. （1）求数列的公差；（2）求前n 项和S n 的最大值；（3）当S 0 时，求n 的最大值。

n快乐每一天，收获多一点。

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