等差数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。

知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n 。

（证明数列是等差数列的关键） 2．通项公式：等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+=，当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。

推广：d m n a a m n )(-+= 3．中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；其中2a bA +=。

4．等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+可以整理成S n ＝2d n 2＋n da )2(1-。

当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次函数。

5．等差数列项的性质（1）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a +=2。

（2）已知数列{}{}n n b a ,为等差数列，n n T S ,为其前n 项和，则1212--=n n n n T S b a （3）若等差数列的前n 项和为nS ，则,,,232n n n n n S S S S S --也成等差数列，公差d n d 2'=；（4）⎩⎨⎧≥-==-)2(n ,)1(n ,11n n n S S S a ； （5）若数列{n a }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也是等差数列，且公差为______。

考点分析考点一：等差数列基本量计算例1、等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9113a a -的值为 练习（1）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．已知2a ＝3，6a ＝11，则7S 等于A ．13B ．35C ．49D ．63（2）数列{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，03=a ，则公差d ＝A ．－2B ．－12C ．12 D ．2 （3）在等差数列{}n a 中，已知32a =，则该数列的前5项之和为A ．10B ．16C ．20D ．32（4）若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15（5）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48（6）{}n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，123=S ，则6a 等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 考点二：等差数列性质应用例1、等差数列{}n a 中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 练习1、在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为A ．5B ．6C ．8D ．64 2、在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）A ．5B ．8C ．10D ．143、设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35例2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27练习、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 例3、已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝________.练习、(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12 B ．1 C ．2 D ．3例4、设n n T S ,分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a 。

例5、已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________。

练习1、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 2、等差数列{}n a 的公差2d =-，1479750a a a a ++++=，那么36999a a a a ++++=A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182 考点三：等差数列的证明例1：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=-，221n n b a =-，其中*.n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数列{}n a 中对于任意的*n N ∈，都有1n n a a +>练习1、数列{}n a 满足22211221+-===++n n n a a a a a ，，。

（1）设n n n a a b -=+1，证明{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。

2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列；3、数列{}n a 满足：21=a ，*+∈+=N n a a a n nn ，221。

求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列；小结与拓展：（1）定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； （2）中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （3）通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列； （4）前n 项和法：S n ＝2kn ＋bn （b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列 考点四：等差数列前n 项和的最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②找到正负项分界的是第几项。

例1、数列{}n a 中，492+-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，=n 练习1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，890a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大。

例2、在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当n ＝8时，n S 取得最大值，则d 的取值范围为________。

例3、等差数列{}n a 中，01>a ，前n 项和为n S ，且仅当125S S =,则当=n 时，n S 取最大值。

练习1、设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．1011S S =B ．1011S S >C ．910S S =D ．910S S <2．设{})(*∈N n a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，且87665,S S S S S >=<则下列结论错．误．的是（ ） A ．0<d B.．07=a C ．59S S > D ．S 6与S 7均为S n 的最大值考点五：等差数列和项转换⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n n n例1、已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 212-=，求n a 。

练习1、已知数列{}n a 的前n 项和为22+=n S n ，求n a 。

2、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）A ．15B ．16C ．49D ．64习题15.21、在等差数列{}n a 中，（1）已知n a n d a 求,10,3,21===； （2）已知n d a a n 求,2,21,31===； （3）已知d a a 求,27,1261==；（4）已知17,8,31a a d 求=-=。

2、在等差数列{n a }中，（1）已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2）已知6510,5a S ==，求8a 和8S （3）,599,54,201===n n S a a 求d 及n ；（4）n n a a S n d 及求1,629,37,31===；（5）n n a n S d a 及求,5,61,651-=-==；（6）n n S a a n d 及求1,10,15,2-===。

3、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==。

（1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n 。

4、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a =5、等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．146、已知道单调递增的等差数列{}n a 的前三项和为21，前三项积为231，则=n a7、在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a8、数列{}n a 中，492+-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，=n 9、数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. （1）求数列的公差；（2）求前n 项和S n 的最大值； （3）当0>n S 时，求n 的最大值。