参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角），特殊地，当圆心是原点时，θθsin cos r y r x ==注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x 2+y 2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。

Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t1y=3sin θ y=cos θ y=t 2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程：θθsin cos 00b y y a x x +=+=Eg ：求椭圆203622y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。

3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角），中心在（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pt y pt x 222== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。

三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程 ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离）说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式：bty y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得)()(2222022220t b a b a by y t b a b a a x x +++=+++=，让t b a 22+作为t ，则此时t 的几何意义是有向距离。

Eg ：求直线 x=-1+3ty=2-4t ，求其倾斜角. 极坐标知识回顾：一、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。

这样建立的坐标系叫做极坐标系。

练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点 A （1，4π）B （2，23π）C （3，-4π）思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．（2）在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应唯一点P(ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不唯一，因为θ具有周期.（3）如无特殊要求，则极径取正值.直角坐标与极坐标的互化： 直角坐标（x ，y ）→极坐标（ρ，θ）图1ρ=22yx+tanθ=xy极坐标（ρ，θ）→直角坐标（x，y）x=ρθcosy=ρθsin练习1：将下列直角坐标化为极坐标A（1，-1） B（1，π）练习2：将下列极坐标化为直角坐标A（2，32π） B（1，2）练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标（1）（4，3π）（6，-32π）；（2）（4，3π）（6，32π）二、直线的极坐标方程⑴ϕθ=或ϕθ=+π⑵ρa=⑶ρ=⑷θρsina=⑸θρsina-=三、圆的极坐标方程ϕθ=θρcosa=Oθρcosa-=θρsina=图4θρsina-=图5⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -=⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -=四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）设OA =Pe MNMO =，e p =+θρρcos ⇒θρcos 1e ep-=其中，当0<e<1为椭圆，e=1为抛物线，当e>1为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义． 1．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

ρθa=ρa x O M图1θρcos 2a =ρθa x O M 图2ρθθρcos 2a -=a xO M 图3ρθθρsin 2a =a xO M 图4ρθθρsin 2a -=ax O 图5解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（2）把直线12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为22．过点2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ⋅的值及相应的α的值。

解：设直线为cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线并整理得223(1sin ))02t t αα+++= 则122321sin PM PN t t α⋅==+所以当2sin 1α=时，即2πα=，PM PN ⋅的最小值为34，此时2πα=。

3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为 .【解析】：11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=12125t t -===12t -=4．直线12()x t t y =+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为________ 解：221(1)()1622t t ++-=，得2880t t --=，12128,42t tt t ++==中点为114324x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定 1．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。

2．在极坐标系中，已知圆θρcos 2=与直线0sin 4cos 3=++a θρθρ相切，求实数a 的值。

考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题1．在极坐标系()()πθθρ20,,<≤中，曲线θρsin 2= 与1cos -=θρ 的交点的极坐标为______．2.已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点极坐标为 .考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题一、1．求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。

2．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______。

3．直线22()112x t t y t =-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

二、距离最大最小问题4．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

解：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，d =3)33θθθθ=-=+- 当cos()13πθ+=时，min 5d =，此时所求点为(2,3)-。

5．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 245d θθ--=即d =，当cos()14πθ+=-时，max 12(25d =；当cos()14πθ+=时，min 12(25d =。

考点五：极坐标方程与参数方程混合1． 在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。

【解析】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即22( 5.x y +=（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240,t -+=由于24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，所以12124t t l P t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线过点故由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t=2． 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(2,2YX ).由于M 点在C 1上，所以⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。