正余弦定理与解三角形撰稿：王秋寰 审稿：谷丹 责编：王静伟目标认知： 学习目标：1．掌握正弦定理、余弦定理及其推导；2．能初步运用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解决一些简单的三角形度量问题． 学习重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题与实际问题． 学习难点：灵活运用两个定理解决相关的解三角形问题． 内容解析： 一、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ABC==．注：1．应用正弦定理，可以研究两类解三角形问题：(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 2．正弦定理的常见变形公式：①2sin sin sin a b c R ABC===（其中R 为三角形外接圆的半径）；② 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ③ sin ,sin ,sin 222a bcA B C RR R ===；sin :sin :sin ::A B C a b c =;④ 三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===．二、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．余弦定理的变式：222cos 2b c aA bc+-=，222cos 2a c bB ac+-=，222cos 2a b cC ab+-=．注：1．应用余弦定理，可以研究两类解三角形问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2．余弦定理的几种常见变形式： ①222cos 2b c aA bc+-=；222cos 2a c bB ac+-=；222cos 2b a cC ab+-=（求任意两边的夹角）②2222cos b c a bc A +-=；2222cos b a c ab C +-=；2222cos a c b ac B +-=（式的化简） ③22260A a c b bc ∠=⇔=+-；222120A a c b bc ∠=⇔=++；22290A a b c ∠=⇔=+； A ∠是锐角222a b c ⇔<+；A ∠是钝角222a b c ⇔>+（判断三角形的形状）3．正弦定理、余弦定理建立了三角形中边与角的联系，对任意三角形都适用。

三、解斜三角形学习了正弦定理、余弦定理以后，我们就有了解三角形的工具，三角形中三条边、三个角一共六个条件，已知其中的三个，都可以把另外三个求出． 要训练在做题中能正确的选择正弦定理与余弦定理的能力，就要明确正弦定理、余弦定理的求解条件，并特别注意正弦、余弦、正切几个三角函数间的转化，及内角的三角函数值的取值范围． 注：1．解斜三角形的常规方法是：(1) 已知两角和一边（如,,A B c ），由πA B C ++=求C ，由正弦定理求,a b ． (2) 已知两边和夹角（如,,a b C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用πA B C ++=，求另一角．(3) 已知两边和其中一边的对角（如,,a b A ），应用正弦定理求B ，由πA B C ++=求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边,,a b c ，应用余弦定理求,A B ，再由πA B C ++=，求角C ． 2．两内角与其正弦值的大小关系：在A B C △ 中，B A B A sin sin <⇔<．3．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．本周典型例题：例1、在A B C △中，45,75AB A C =∠=∠=，求BC ．解：由正弦定理可知sin sin A B B C CA=，即sin 75sin 45BC =．因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45(14=+=+=+，所以3BC =-．例2、在A B C △中，若1tan 3A =，150C ∠= ，1BC =，求A B ．分析：由角的正切值可以求解出A ∠的度数，因而转化为“已知两角和一个角的对边，求另一条对边”的问题，可用正弦定理求解． 解： 由1tan 3A =可知c o s 3s i n A A =， 又因为22sin cos 1A A +=，所以联立两个方程可解得21s i n10A =，因为A ∠是三角形的内角，所以正弦值取正，即1sin A =。

所以代入sin sin BC AB AC=，即2AB =题记：三角形内角的正弦值是正数，是一个隐含条件。

例3、若cC bB aA cos cos sin ==，则△ABC 是（ ）A ．正三角形B ．有一内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角为30°的等腰三角形 解：由正弦定理sin sin sin A B C abc==，所以可知sin cos B B =，sin cos C C =．根据正弦函数与余弦函数的图象知，两个函数在(0,π)内有且只有一个交点，即π4x =处，所以π4B C ∠=∠=，π2A ∠=，A B C △是等腰直角三角形，选C ．例4、在A B C △中，1,2,60AB BC B ==∠= ，求A C ．解： 由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+- 可得，AC ==题记：余弦定理建立了三条边与一个角的正弦之间的联系，其中的角可以是三角形中的任何一个角．例5、 在A B C △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1a =，b c =B ∠．解：由余弦定理的变形公式222cos2a c bB ac+-=直接代入数据可得:cos 2B ==-，所以5π6B ∠=．题记：“ 已知三条边求一个角”的题目形式是应用余弦定理的典型表征． 由此题可知余弦定理可作为对三角形形状判断的方法:余弦值为负，说明这个角是一个钝角，该三角形是一个钝角三角形；余弦值为0，说明这个角是直角，该三角形是直角三角形．但注意：余弦值为正，说明这个角是一个锐角，还仍需求其他角的余弦，而不能直接得到“三角形是锐角三角形”的结论． 例6、A B C △中，若60C ∠= ，则a b b cc a+=++ ．分析： 题目只给出了一个角，需要求三条边的一个比例关系，只能用余弦定理． 解：由余弦定理222cos 2a b cC ab+-=可知:222a b c ab +-=，即222a b ab c +=+,所以22222()()1()()a b a c a b b c ac bc a bac bc c ab b cc ab c c a bc ac c abbc ac c ab++++++++++====++++++++++．法2（特殊值法,可用来解小题）由题目条件，上式的值对所有包含一个60角的三角形都是相同的，所以不妨设A B C △是等边三角形，即a b c ==，代入可得11122a b b cc a+=+=++．例7、锐角A B C △中，若2C B =，则A B A C的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ． 2)C ．D ． 2) 解：由已知2C B =及正弦定理sin sin A B A C CB=，可得sin 2cos sin A BCB AC B ==．由πA B C ++=可知3πA B +=，因为ππ,22A C <<，所以ππ64B <<．在ππ(,)64内，余弦函数是单调递减的，所以cos (22B ∈，即A B AC ∈．答案选择C ．例8、A B C △中，若60A ∠= ，16A C =，ABC S ∆=，求B C ．解：因为1sin 2A B C S AC AB A =，所以552AB ==．由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-可得，49BC ==．题记：正弦定理、余弦定理都阐述了三角形内边与角的关系，但是它们的适用范围是存在着差异的．一般来讲，题目给出了较少的边、角信息，优先考虑用正弦定理． 例9、在A B C △中，sin sin sin cos cos B C A B C+=+，判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得22222222b ca c a ba b cacab+=+-+-+,整理为2222()()()b a b c a c bc b c -+-=+，即233()()()b c a b c bc b c +=+++． 所以222a b bc c bc =-++，即222a b c =+． 所以A B C △是直角三角形．例10、在A B C △中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，2C A =，10a c +=，3cos 4A =，(1)求c a的值；(2)求b 的值．解：(1) 由2C A =及正弦定理得sin 32cos sin 2c C A a A===．(2) 由1032a c c a+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得46a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理得222346264b b =+- ，化简得29200b b -+=，解得4b =或5b =．若4b =，则A B =，4πA B C A ++==，所以π4A =，cos 2A =与条件3cos 4A =矛盾，所以4b =不合题意，舍去．所以5b =．例11、若钝角三角形中，一个锐角与钝角之和等于另一个锐角度数的两倍，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是（ ）．A ．(1,2)B ． (2,+∝)C ． [3,+∝)D ．(3,+∝)分析：考虑到题目给出了三个内角的关系式与一组边的比值，所以应选用正弦定理，边的范围可以借助三角函数的求解。

解：在钝角A B C △中,设090C B A ︒︒<∠<∠<<∠,则依题意可得2B A C ∠=∠+∠,则60B ︒∠=,设60C d ︒∠=-,60A d ︒∠=+,由9060120d ︒︒︒<+<得3060d ︒︒<<．于是1sin sin sin(60)sin 211sin sin(60)2222d da A d d c C d ++====+=+-，而cot d <<则012d <-<,所以,2a c>,答案为B ．题记：应注意根据正弦定理可得到“边与所对角的正弦值的比值为常数”，不能由角的关系直接得出边的关系．若利用和角公式展开还要用到余弦值的转化，问题会变得比较麻烦，所以先根据“三角形内角之和为180度”确定一个角才是比较英明的做法．例12、在A B C △中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求A B C △周长的最小值． 解：因为22320x x --=，所以121,22x x =-=．由cos C 是方程22320x x --=的一个根，所以1cos 2C =-．由余弦定理可得：222212()()2c a b ab a b ab =+--=+- ，则22100(10)(5)75c a a a =--=-+， 当5a =时，c最小且c ==，此时10a b c ++=+．所以，A B C △的周长的最小值为10+。