1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠A B M=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()II 求二面角S AM B --的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠= ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.ACBA 1B 1C1D EABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角；（3）求点O 到平面ABM 的距离．6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥BCE平面（III ）求二面角F BD A --的大小。

7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE :(Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。

8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4,1AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE平面（III ）求二面角F BD A --的大小。

10.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD，3,FC ED ==．求：（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．11．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD．(1)证明：PA ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB A CD ,AC⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点（1）证明：PE ⊥BC（2）若∠APB =∠ADB =60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值a参考答案1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,在RT MEB ∆中， 60MBE ∠=︒ME ∴=。

在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+解得1x =，从而12MN SD =∴ M 为侧棱SC 的中点M . 解法二:过M 作CD 的平行线.（II ）分析一:利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

an dAg （Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，)2,2,0(-=SC ，由题得⎪⎩⎪⎨⎧>=<SC SM BM BA //21,cos ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-⋅--)2(22212)2(2)2(222b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则12,12,2(),12,12,0(λλλλλ+-+=++MB M 又oAB MB AB 60,),0,2,0(>=<=故oAB MB AB MB 60cos ||||⋅=∙，即22)12()12(214λλλ++++=+，解得1=λ，所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙11ASnMAn且⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙12ABnMAn，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--22211111zxzyx且⎪⎩⎪⎨⎧==--222222yzyx分别令221==xx得2,0,1,12211====zyyz，即)2,0,2(),1,1,2(21==nn，∴366222,cos21=⋅++>=<nn二面角S AM B--的大小36arccos-π。

2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF121B B，从而EF DA。

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。

又DE⊥平面1BCC，故AF⊥平面1BCC，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。

由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C 的平面角。

由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则AG。

又AB=2，BC=，故AF。

由AB AD AG BD⋅=⋅得2AD AD。

故AD=AF。

又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

连接CH，则∠ECH为B C与平面BCD所成的角。

因ADEF 为正方形，AD ，故EH =1，又EC =112B C =2，所以∠ECH =300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300.解法二：（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12，2b，c ）.于是DE →=（12，2b，0），BC →=（-1，b ,0）.由DE ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→⋅=0，求得b =1，所以 AB =AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →=则0,0.AN BC AN BD →→→→⋅=⋅=又BC →=（-1，1， 0），BD →=（-1，0，c ）,故0x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩令x =1, 则y =1, z =1c ,AN →=(1,1, 1c).又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，=60°，故 60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °，求得21c =于是 ），，（211=AN ， ），，211(1-=CB 21cos 111=⋅⋅=CB AN CB AN CB AN ，，601=CB AN ，°所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,，在ABE ∆中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 21//==， 又BE DC 21//==，所以DC PQ ==//，又⊄PQ 平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD（Ⅱ）在ABC ∆中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC而⊂EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQDP // 所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP 4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面.（Ⅱ）设AC ∩BD =O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE //PD ，12OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，12OE PD AB AO ===，∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ，（Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AECPDB ⊥平面.（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，()11,,22P E a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 设AC ∩BD =O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，∵11,,,0,0,22EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos EA EO AEO EA EO⋅∠==⋅ ，∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABCD ＋V E —BCF =5、解：方法（一）：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，且PNM PCD∠=∠tan tan PDPNM PCD DC∠=∠== 所求角为arctan（3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM |就是D 点到平面ABM 距离.因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，DM =，则O点到平面ABM 。