(2.69)
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
式2.68称为 x t 的傅立叶变换，称式2.69为 X 的 傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
x t X
IFT
FT
2 f 代入傅立叶积分式中，则式2.68, 2.69变为
X f x t e j 2 ft dt
Im[X ( f )] ( f ) arctgRe[ X ( f )]
x (t ) 1 X ( )e jt d 2 X ( ) x (t )e jt dt
X f 连续幅值谱
f

连续相位谱
X 频谱密度函数
2.2 周期信号的频谱分析 第 二 章
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变 换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。
信 X(t)= sin(2πnft) 号 分 0 析 基 础
傅里叶 变换
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
0
f
频域分析的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
T0 T0 , 设有一个周期信号x(t)在区间 2 2
以傅立叶级数表示为
x t
n
ce
n

jn0t
1 式中 cn T0

T0 2 T 0 2
x t e
jn0t
dt
将其代入上式则得
n n
幅频谱 相频谱
频谱图的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn (ω 0) 为横坐标，bn 、an为纵坐标画图，称为实频－虚频谱图。
图例
n 为纵坐标画图，则称为 以fn为横坐标，An、 周 幅值－相位谱； 期 信 号 的 频 谱 分 析
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
非 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
对比:方波谱
例：单边指数衰减函数的频谱
非 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
a2 (2 f )2 2 f ( f ) X ( f ) arctan a
A( f ) X ( f )
1
非 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
例：求矩形脉冲信号的频谱密度 非 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
以fn为横坐标， An 2 为纵坐标画图，则称为 功率谱。
例子：方波信号的频谱展开
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
三角函数展开数函数展开式：
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
其中：
1 jn0t x(t ) j e n n
Re Cn 0 2A Im Cn n
傅 里 叶 级 数 与 周 期 信 号 的 分 解
傅里叶级数的三角函数展开式：
x (t ) a 0 ( a n cos n 0 t bn sin n 0 t )( n 1, 2 , , 3 ,...)
n 1

改为复指数函数展开式：
1 1 jn0t x(t ) a0 [ (an jbn )e (an jbn )e jn0t ] 2 n 1 2
1, t T1 x(t) 0, t T1
X(f )

x(t )e
j 2ft
dt
T1 T1
T1 T1
e
j 2ft
dt
1 j 2ft e j 2f
j
(e
j 2 fT1
e 2 f
j 2 fT1
)
非 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
欧拉公式
n
C e
n

jn 0 t
,(n 0,1,2,...)
e
jn0t
cos(n0t ) j sin( n0t )
1 jn0t cos(n0t ) (e e jn0t ) 2 j jn0t jn0t sin(n0t ) (e e ) 2
x (t )



1 2


d 2





x t e
j t
j t
dt e
j t
x t e
dt e


j t
d
这就是傅立叶积分
1 令X 2


x t e jt dt
(2.68)
则 x t X e j t d
* Cn与C n 共轭，即Cn C n , 且 n n
双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。
结论：周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
1) 周期信号频谱是离散的； 2)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存 在非整倍数的频率分量；
1 x t n T0


T0 2 T 0 2
x t e
jn0t
jn0t dt e
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
当 T0 趋于无穷 时，频率间隔 成为 d ， 离散谱中相邻的谱线紧靠在一起，n 成为连续变 量 ，求和符号 就变为积分符号 ，则
2A
n
2A Cn n 当n 0 2A 2 n arctan n 0 当n 0 2
方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
虚频谱
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
时域分析与频域分析的关系 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
信号频谱X(f)代表了信号在不同 频率分量成分的大小，能够提供 比时域信号波形更直观，丰富的 信息。
幅值
频率
时间
时域分析
频域分析
时域分析与频域分析的关系 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
MP3
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
傅里叶变换对
x (t ) X ( f )e j 2ft df X ( f ) x (t )e j 2ft dt
或
X ( f ) X ( f )e
j ( f )
X ( f ) Re2[ X ( f )] Im2[ X ( f )]
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除 单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和 各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
大型空气压缩机传动装置故障诊断
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
时域和频域的对应关系
131Hz
147Hz
165Hz
实频谱
幅频谱
相频谱
方波信号的时域和频域的描述
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
波形合成 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
三角函数展开形式的频谱是单边谱 复指数展开形式的频谱是双边谱 两种形式频谱图具有确定的关系：
An 1 2 2 C0 A0 a0 , Cn an bn 2 2
2
T /2 2 T T / 2

T――周期， T=2π/ω0； ω0――基波圆频率； f0= ω 0 /2π
T /2 2 T T / 2 2
An an bn ;
b n arctg a ;
n n
傅 里 叶 级 数 与 周 期 信 号 的 分 解
傅里叶级数的复指数函数展开式：
x (t )


x t X f e j 2 ft df


傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
公式简化后有 关系式
X f 2 X
一般X f 是实变量 f 的复函数，可以写成
Xf Xf e
j f
式中 X f 为信号 x t 的连续幅值谱， f 为 信号 x t 的连续相位谱。
频域参数对应 于设备转速、 固有频率等参 数，物理意义 更明确。
175Hz
周 期 信 号 的 频 谱 分 析
傅 里 叶 级 数 与 周 期 信 号 的 分 解
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满 足条件： x ( t ) = x ( t + nT ) 从数学意义上，凡是满足“狄里赫莱”条件的周期函数， 都可以展开成傅里叶级数。
C

e
T0
jn 0 t
n 0,1,2,
其中：
1 Cn T0

2 2
T0
x ( t ) e jn 0 t dt
Cn Re Cn j Im Cn Cn e jn
实频谱 虚频谱
Cn (Re Cn ) 2 (Im Cn ) 2
Im C n arctan Re C
j jt jt 利用欧拉公式： sin t (e e ) 2 sin 2 fT1 sin 2 fT1 X(f) 2T1 f f 2T1 2T1 sin c (2 fT1 )
A( f ) X ( f ) 2T1 | sin c(2fT1 ) |
0 ( f ) arctan 2T1 sin c(2 fT1 ) 1 n n 2) 0 ( f T1 T1 n 0, 1, 2, 1 n ( 2 f n 1) T1 T1