高中数学学案导数及其应用第1讲导数的概念及计算考点导数的概念及其几何意义知识点1 导数的有关概念(1)导数：如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，就说函数y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.注意点如果函数f(x)在x＝x0处可导，那么函数y＝f(x)在x＝x0处连续.2 导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3 几种常见函数的导数原函数导数y＝C(C为常数)y′＝0y＝x n(n∈Q*)y′＝nx n－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xy＝e x y′＝e xy＝ln x y′＝1 xy＝a x(a>0，且a≠1)y′＝a x ln_ay ＝log a x (a >0，且a ≠1)y ′＝1x ln a4 导数的四则运算法则若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 注意点 “过某点”和“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点.入门测1．思维辨析(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3．曲线y ＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是( )A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0答案 C解析y′＝cos x＋e x，故在点(0,1)处的切线斜率为2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.[考法综述] 导数的运算是所有导数问题的基础，高考中凡是涉及导数的问题必然会用到运算法则．导数的几何意义也是常考内容，主要有两种命题角度：①知切点求切线方程(斜率)；②知切线方程(或斜率)求切点参数值或曲线方程等．一般难度不大，选择、填空、解答题的形式都有．命题法导数的概念和几何意义典例(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0 f x0＋h－f x0－hh等于( )A．f(x0) B．－2f′(x0)C．2f′(x0) D．0(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )A．－e B．－1C．1 D．e(3)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.[解析] (1)limh→0f x0＋h－f x0－hh＝limh→0f x0＋h－f x0－[f x0－h－f x0]h＝limh→0f x0＋h－f x0h＋limh→0f x0－h－f x0－h＝2f′(x0)．(2)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.(3)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，f(1)＝a＋2，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，代入点(2,7)得，a＝1.[答案] (1)C (2)B (3)1【解题法】导数运算的原则和方法以及导数几何意义问题的解题策略(1)①原则：先化简解析式，再求导．②方法：a．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；b．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；c．对数形式：先化为和、差的形式，再求导；d．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；e．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(2)①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：a．求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；b．由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．②已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.③求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．1．函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )A.π4B．0C.3π4D．1答案 A解析由f′(x)＝e x(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )A.103B.43C．－23D．1答案 C解析f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图象，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－2a2>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝13x3－2x2＋1，可得f(1)＝－23，故选C.3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( ) A．0 B．－1C.12D．2答案 C解析依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝1 2 .4.设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案(1,1)解析y′＝e x，则y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线与y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝1x(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y ＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)．5．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e, 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．6．若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则有y 1＝1e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎨⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2. 7．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.微型专题导数几何意义应用的创新题型创新考向导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点，此类问题以新定义、新情境为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．命题形式：常见的有新概念、新情境、新法则等．创新例题如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( )A．y＝1125x3－35x B．y＝2125x3－45xC．y＝3125x3－x D．y＝－3125x3＋15x解析根据题意知，所求函数在(－5,5)上单调递减．对于A，y＝1125x3－35x，∴y′＝3125x2－35＝3125(x2－25)，∴∀x∈(－5,5)，y′<0，∴y＝1125x3－35x在(－5,5)内为减函数，同理可验证B、C、D均不满足此条件，故选A.创新练习若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切．(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln x.答案①③④解析对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1,0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′|x＝0＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝sin x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝sin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′|x＝0＝1cos20＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝tan x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝tan x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′|x＝1＝1，所以l：y＝x－1是曲线C：y＝ln x在点P(1,0)处的切线，令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，可知曲线C：y＝ln x在点P(1,0)附近位于直线l的下方，⑤错误．1．准确转化：解决此类问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于导数几何意义的应用中的创新问题，可恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法，同时结合导数的几何意义求解，以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是( )A．1 B.1 64C．1或164D．1或－164[错解][错因分析] (1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．[正解] 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝32(x0＝0舍)，所以k＝－14，∴所求切线l的方程为y＝－14x.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0.依题意，Δ＝116－4a＝0，∴a＝164.综上，a＝1或a＝164.[答案] C[心得体会]课时练基础组1.[武邑中学模拟]已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝( ) A．1 B．－1C．2 D．－2答案 A解析由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝limΔx→0 f－1＋Δx－f－1Δx＝f′(－1)＝1，故选A.2．[枣强中学一轮检测]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝( )A.1eB．eC．－1eD．－e答案 C解析由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋1x，则f′(e)＝2f′(e)＋1e⇒f′(e)＝－1e，故选C.3．[衡水中学周测]若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析依题意得，f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin0＝2×0＋b，故b＝0，又有m＝f(0)＝g(0)，则m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.4．[冀州中学月考]曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°答案 A解析由y＝x3－2x＋4，得y′＝3x2－2，得y′|x＝1＝1，故切线的倾斜角为45°.5．[武邑中学周测]已知f(x)＝x3－92x2＋6x－a，若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，则m的最大值为( )A．3 B．2C．1 D．－3 4答案 D解析f′(x)＝3x2－9x＋6，因为对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34，故选D.6．[衡水中学月考]函数f(x)＝x sin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )答案 C解析 ∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(－x )＝－sin x －x cos x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，由此可排除A ，B ，D ，故选C.7．[枣强中学猜题]若点P 在曲线f (x )＝ln x ＋ax 上，且在点P 处的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x ＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意，知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2，故选B.8．[衡水中学期中]抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433答案 D解析 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12p x 20，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M ⎝⎛⎭⎪⎫33p ，16p .由题意又可知抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线右焦点为(2,0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，16p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，(2,0)三点共线，16p －033p －2＝p2－00－2，可求得p ＝433，故选D. 9．[武邑中学期中]曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.10．[衡水中学期末]若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f x 0－k －f x 02k＝________.答案 －1 解析 f ′(x 0)＝lim k →0f [x 0＋－k ]－f x 0－k(这里Δx ＝－k )，所以，lim k →0f x 0－k －f x 02k＝lim k →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12·f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.11．[冀州中学期末]已知函数y ＝2cos x ＋3的导函数为G (x )，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π上，随机取一个值a ，则G (a )<1的概率P 为________．答案78解析 由题意，知G (x )＝y ′＝－2sin x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π上，由G (a )＝－2sin a <1，得a∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，π，故概率P ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝78. 12. [衡水中学预测]过函数y ＝x 12(0<x <1)图象上一点M 作切线l 与y 轴和直线y ＝1分别交于点P 、Q ，点N (0,1)，则△PQN 面积的最大值为________．答案827解析 设切点为M (t 2，t )，0<t <1，因为y ′＝12x，所以切线斜率为k ＝12t，切线方程为y －t ＝12t (x －t 2)，即y ＝12t x ＋t 2，分别令x ＝0、y ＝1得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2、Q (2t －t 2,1)，所以△PQN的面积S ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2·(2t －t 2)＝14t 3－t 2＋t ，S ′＝34t 2－2t ＋1＝14(t －2)(3t －2)，注意到0<t <1，所以当t ＝23时，△PQN 的面积取到最大值14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23＝827.能力组13.[枣强中学热身]曲线y ＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．3B ．2 C.13 D.19答案 D解析 由题意，知y ′＝1＋x 2，∴曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝1＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23.∴切线与x 轴和y 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23.∴所求三角形的面积为12×13×23＝19，故选D. 14．[衡水中学猜题]已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.答案 －7解析 由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|3＋a ×2＋4－a －5|3＋a2＋1＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.15．[衡水中学一轮检测]设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．答案－2解析∵y′| x＝1＝n＋1(n∈N*)，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)(n∈N*)，令y＝0，得x＝x n＝nn＋1(n∈N*)，∴a n＝lgnn＋1(n∈N*)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg12＋lg2 3＋…＋lg99100＝lg⎝⎛12×23×…×⎭⎪⎫99100＝lg1100＝－2.16. [冀州中学模拟]已知点P在曲线y＝4e x＋1(其中e为自然对数的底数)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则tanα的取值范围是________．答案[－1,0)解析易知y′＝－4e xe x＋12，显然y′<0，又－4e x e x＋12＝－4e x＋1e x＋2≥－42 e x·1e x＋2＝－1(当且仅当e x＝1e x时取“＝”)，∴tanα的取值范围是[－1,0)．。