m
M
m s2 2R mM
4、 变“质点模型”为“刚体模型”
例4：题与例3相同，只是题中的小球不可 视为质点，其半径为r，则仍求滑块向右运 动的最大距离。
m s2 （2R - 2r) mM
5、 变“两体问题”为“多体问题” 某人在船上练习射击，人在船的一端，靶 在船的另一端，相距为L，人、船、枪、靶的 总质量为M，枪膛里另有质量为m的子弹n发。 当人把所有的子弹全部射入枪靶后（子弹打完 后留在靶中），船将会后退多远?
ms 1' M ( n 1 )ms2'
s1' s2' L
m s 2' L M nm
v1 v2 v2
v1
（4）第n 颗子弹从枪口打出至打入靶中的过程，
船运动的总距离是多少？
m s 2 s 2' s 2' ' L M nm
nm s总 ns2 L M nm
M
m
m s2 L mM
2、 变“水平运动”为“竖直运动” 如图，总质量为M的气球下端悬着质量为 m的人而静止于高度为h的空中，欲使人能沿 着绳安全着地，人下方的绳至少应为多长？
分析：和“人船模型”的原形相比，这一变例 除将“船”变为“气球”外，还将人和船沿水 平方向运动变为人和气球沿竖直方向运动。其 中的高度h相当于原形中人相对于地的移动的 距离S1，而所求的绳长L则相当于原形中人相 对于船通过的距离。于是不难求得此变例中所 求的绳长为:
V2
• 滑块向右运动距离最远时， M、m的速度是多大？ 此时，m在槽内的什么位置？
mv 1 Mv 2
ms 1 Ms 2 s1 s2 2 R
S2 S1
m s2 2R mM
分析：和“人船模型”的原形相比， 这一变例除将“人”和“船”分别变为 “小球”和“滑块”外，还将人在船上沿 水平轨道做直线运动变为小球在滑块上沿 曲线轨道做曲线运动。其中半球形凹面轨 道的直径2R相当于原形中人相对于船运动 的距离，而所求的滑块向右运动的最大距 离则相当于原形中船通过的距离。于是可 得
的小船，船头站立质量m的人，船长L。最初 人和船静止，如图所示。为了让人安全地走到 河岸上，则在船尾至少应加多长跳板？ (忽略水的阻力和跳板的质量，跳板与岸的 摩擦不计。)
四、“人船模型”变 例 1、 变“人船模型”为“人车模型”
例1：如图所示，质量为M，长为L的平板小 车静止于光滑水平面上，质量为m的人从车 右端走到车左端的过程中，车将后退多远？
ms 1 Ms 2 0
仍有：ms 1 Ms 2
S2
L
S1
s1 s2 L
二、“人船模型”的力学特征 • 人和船构成一个相互作用的系统； • 人和船在相互作用下各自运动； • 系统所受的合外力为零，从而系统在 运动过程中总动量守恒。
v1 v2
S2
L
S1
三、“人船模型”的分析思路
① 系统总动量为0 mυ-Mu = 0
② 系统任一时刻，均有： mυ=Mu
所以即使人做变速运动，也有： mv M u
③ 上式两端同乘以时间t： mS1=MS2
④ 由于人相对船相对的距离为L:
S1+S2 = L
⑤ 人、船相对于地面移动的距离分别为:
M s1 L mM
m s2 L mM
题2：在静止的湖面上有一带跳板的、质量M
分析：和“人船模型”的原形相比， 这一变例除将“人”变为“子弹”外，还 将一个人和一条船的“两体问题”变为多 发子弹和一条船的“多体问题”。其中n 发子弹就相当于原形中的人，尽管这n发 子弹是一发一发地击发入枪靶的，但因此 使船发生的运动情况不变。由此可得:
nm s2 L nm M
6、 变“通常情况”为“极端情况” 例6：如图所示，光滑水平杆上套有一个 质量可忽略的小环，长L的绳一端系在环上， 另一端连着质量为m的小球，今使小球与环等 高且将绳拉直，当把小球由静止释放直到小 球与环在同一竖直线上，试分析这一过程中 小球沿水平方向的移动距离.
L mM h M
S球
h S人
3、变“直线运动”为“曲线运动” 例3：如图所示，质量为M的滑块静止于光 滑水平面上，其上有一个半径为R的光滑半 球形凹面轨道，今把质量为m且可视为质点 的小球自轨道右测与球心等高处静止释放， 求滑块向右运动的最大距离。
O
R m
M
m M
V1
• 分析要点： •m 下滑时，M 向哪做什么运动？ • m 上滑时，M 向哪做什么运动？
mv 1 M ( n 1 )mv 2 ms 1 M ( n 1 )ms2
s1 s2 LΒιβλιοθήκη m s2 L M nm
v1 v2 v2
v1
（3）第2 颗子弹从枪口打出至打入靶中的过程，
船运动的距离是多少？
mv 1' M ( n 1 )mv2'
v1 v2 v2
v1
（1）第一颗子弹从枪口打出至打入靶中的过程， 可以分为几个阶段？ 打出过程：反向运动，动量守恒 匀速过程：两个物体均以反冲速度做匀速运动 打入过程：动量守恒，子弹打入后，两个物体 速度均突减为0
v1 v2 v2
v1
（2）第1颗子弹从枪口打出至打入靶中的过程， 船运动的距离是多少？
m
分析：和“人船模型”的原形相比，这一 变例除将“人”和“船”分别变为“小球” 和“小环”外，还将人与船的质量之比从 m: M 的“通常情况”变为 m: M = m:0 的“极端情况”，而其他所有情况都不变 。于是可得 s1 M L 0 m M
例7：光滑水平面上有个斜面体，其质量为M， 底面宽度为b。在光滑斜面上放置一滑块，滑 块质量为m，上表面水平，宽度为a。让滑块 从图示位置由静止开始释放滑到斜面底端。 求该过程中斜面体后退的距离。
mv 1t Mv 2 t 0 ms 1 Ms 2
S船
L
S人
s1 s2 L
(2) 假如人变速走到船头，船后退的距离多少？
m v2 v1 mv 1 Mv 2 0 M 结论： 船变速后退
人相对船运动中一直有： v1 v2
mv1 Mv2 0 mv1t Mv2 t 0
动量守恒定律的应用（五）
—— 人船模型
一、“人船模型” 问题 如图所示，质量为M的小船长L，静止于 水面，质量为m 的人从船右端走到船左端， 不计水对船的运动阻力，则:该过程中船将 移动多远？
(1) 人匀速行走
mv 1 Mv 2 0
v1 v2
m v2 v1 M
结论： 船匀速后退 人走到船尾时，有：