练习三刚体的定轴转动（一）1.一个转动的轮子由于轴承摩擦力矩的作用，其转动角速度渐渐变慢，第一秒末的角速度是起始角速度ω0的0.8倍。

若摩擦力矩不变，第二秒末角速度为（用ω0表示）；该轮子在静止之前共转了转。

2.一个可视为质点的小球和两根长均为l的细棒刚性连接成如图3-2所示的形状，假定小球和细棒的质量均为m，那么，该装置绕过O点的OZ轴转动的转动惯量为。

3.（1）两个匀质圆盘A、B的密度分别为ρA和ρB，且ρA>ρB。

质量和厚度相同。

两圆盘的旋转轴均通过盘心并垂直于盘面，则它们的转动惯量的关系是：（1）I A<I B；（2）I A=I B；（3）I A>I B；（4）不能判断。

分析：m相等，ρA>ρB，V A小，厚度相等，R A小，J＝1/2mR2,所以J A小4.（3）一力矩M作用于飞轮上，飞轮的角加速度为β1，如撤去这一力矩，飞轮的角加速度为-β2，则该飞轮的转动惯量为：5.（3）如图，A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮筋拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度（1）B A V V =； （2）B A V V <；（3）B A V V >； （4）无法判断。

6.（4）一质量为60kg 的人站在一质量为60kg 、半径为l m 的匀质圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动。

系统原来是静止的，后来人沿圆盘边缘走动，当人相对圆盘的走动速度为2m/s 时，圆盘角速度大小为 ：（1） 1rad/s ； （2） 2rad/s ；（3）2/3rad/s ； （4）4/3rad/s 。

解：角动量守恒7. 如图3-7所示，物体1和2的质量分别为1m 与2m ，滑轮的转动惯量为J ，半径为r 。

（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 和2T （设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 和2T 。

图3-7Jr m r m Jg m gr m m gr m m T Jr m r m Jg m gr m m gr m m T J r m r m gr m gr m a J r m r m gr m gr m ++++=++++=++-=++-=22212221221222211221221122212221222121,μμμμμαJr m r m gr m m T J r m r m Jg m gr m m T Jr m r m gr m a ++=+++=++=22212212222112211222121,0)2(时：＝当μ8.一长为2l ，质量为3m 的细棒的两端粘有质量分别为2m 和m 的物体（如图3-8所示），此杆可绕中心O 轴在铅直平面内转动。

先使其在水平位置，然后静止释放。

求：（1）此刚体的转动惯量；（2）水平位置时的杆的角加速度；（3）通过铅直位置时杆的角速度。

（1）此刚体的转动惯量；解： 222242)2)(3(121mL mL mL L m J =++= （2）水平位置时的杆的角加速度； 解：M=J α, M=2mgL-mgL L g 4=α （3）通过铅直位置时杆的角速度。

解：机械能守恒：0+0＝mgL-2mgL+1/2J ω2L g 2/=ω练习四 刚体的定轴转动（二）1.用一条皮带将两个轮子A 和B 连接起来，轮与皮带间无相对滑动，B 轮的半径是A 轮半径的3倍。

（1）如果两轮具有相同的角动量，则A 、B 两轮转动惯量的比值为 ；（2）如果两轮具有相同的转动动能，则A 、B 两轮转动惯量的比值为 。

2.某滑冰者转动的角速度原为ω0，转动惯量为I 0，当他收拢双臂后，转动惯量减少了1/4。

这时他转动的角速度为 ；他若不收拢双臂，而被另一个滑冰者作用，角速度变为02ωω=，则另一滑冰者对他施加力矩所作的功A 为 。

解：3.银河系有一可视为球体的天体，由于引力凝聚，体积不断收缩。

设它经过一万年体积收缩了1%，而质量保持不变。

则它的自转周期将 3 ；其转动动能将 1 。

（1）增大； （2）不变； （3）减小。

4.（3）一子弹水平射入一木棒后一同上摆。

在上摆的过程中，以子弹和木棒为系统，则总角动量、总动量及总机械能是否守恒？结论是：（1）三量均不守恒； （2）三量均守恒；（3）只有总机械能守恒；（4）只有总动量不守恒。

5.（4）如图4-2，一轻绳跨过两个质量均为m，半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。

绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物。

不计滑轮转轴的摩擦。

将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为：（1）mg；（2）3mg/2；（3）2mg；（4）11mg/8。

6.一质量为m，长为l的均匀细棒，放在水平桌面上，可绕杆的一端转动，如图6-5所示，初始时刻杆的角速度为ω0。

设杆与桌面的摩擦系数为μ，求：（1）杆所受的摩擦力矩；（2）当杆转过90︒时，摩擦力矩所作的功和杆的转动角速度ω。

解：⎰-==2/04πμπθmgl d M A f L g J J A 23212120202πμωωωω-=∴-=7.设质量为M 长为l 的均匀直棒，可绕垂直于杆的上端的水平轴无摩擦地转动。

它原来静止在平衡位置上，现有一质量m =M/3的弹性小球水平飞来，正好碰在杆的下端。

相碰后，使杆从平衡位置摆动到最大位置θmax =60︒处，如图4-7所示。

求：（1）设为弹性碰撞，试计算小球初速度v 0的值； 解：碰撞前后，E k 守恒： 2222203/12/12/12/1mLML J J mv mv ==+=ω 碰撞前后，L 守恒：ωJ mvL L mv +=0棒上升，E 守恒： 2,0,2)60cos 1(212102gL v v L g L mg J o ===-=ωω三式联立，解得：（2）碰撞过程中小球受到多大的冲量。

解： gL mv mv I 2210-=-=练习五刚体的定轴转动（三）1.如图5-1所示，均匀细棒长为l，质量为M，下端无摩擦地铰在水平面上的O点。

当杆受到微扰从竖直位置倒至水平面上时，顶端A点的速度为：。

2.如图5-2所示，半径为R，质量为m的匀质圆盘可绕水平固定轴转动。

现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为m的物体，圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系为。

3.（1）长为L的均匀细杆OM绕水平O轴在竖直面内自由转动，今使细杆OM从水平位置开始自由下摆，在细杆摆动到铅直位置的过程中，其角速度ω，角加速度β如何变化？（1）ω增大，β减小；（2）ω减小，β减小；（3）ω增大，β增大；（4）ω减小，β增大。

↓===↑=+-=JmgL L mg M J JmgL J L mg L mg 2sin ,sin 2cos ,21)cos 1(222θβθβθωωθ守恒：在下降过程中，机械能4（3）人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地球在椭圆的一个焦点上，卫星的动量P ，角动量L 及卫星与地球所组成的系统的机械能E 是否守恒？（1）P 不守恒，L 不守恒，E 不守恒；（2）P 守恒，L 不守恒，E 不守恒；（3）P 不守恒，L 守恒，E 守恒；（4）P 守恒，L 守恒，E 守恒；（5）P 不守恒，L 守恒，E 不守恒；分析：万有引力是保守力，机械能守恒；是有心力，角动量守恒万有引力是卫星所受的外力，不为0，所以动量不守恒5.（3）如图5-5所示，A 、B 为两个相同绕着轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ，设A,B 两滑轮的角加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，则有（1）A β=B β； （2） A β>B β ；（3）A β<B β； （4）开始A β=B β以后A β<B β。

图5-5 BA A AB AB MR J MgRR a J MgR J TR J FR B MaT Mg M A βββββββ<+======-所以：滑轮：2::,6.如图5-6所示，B 的质量m 2足够大，使其能在重力作用下运动，设A 的质量为m 1与斜面间的摩擦系数为μ，轴承摩擦不计，绳不可伸长，质量为M 的滑轮可视为均匀圆盘，求物体B 由静止下落的高度h 时的速度。

A ：A A A a m mg mg T =--θθμsin cosB ：B a m T g m 222=-轮：αJ R T R T =-12R a a B A α== ah v ah v v 22202==-7.如图5-7所示，把细杆OM 由水平位置静止释放，杆摆至铅直位置时刚好与静止在光滑水平桌面上质量为m 的小球相碰，设杆的质量与小球的质量相同，碰撞又是弹性的，求碰撞后小球的速度。

L g ml J J mgl 331,212122=→==ωω 碰撞前后：（1）L 守恒：mvL J J+='ωω（2）E 守恒： 22221'2121mv J J +=ωω （1）（2）联立消去 gL v 3'=得ω。