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【四川省成都七中】2017届高三二诊模拟考试数学(理)试卷(附答案)

四川省成都七中2017届高三二诊模拟考试数学(理)试卷一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上).1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--,{}|lg 0B x x =≤,则AB =( )A .{}1B .{}0,1C .{}0,1,2D .{}1,22.已知i 是虚数单位,若()17ii ,2i a b a b +=+∈-R ,则ab 的值是( ) A .15-B .3-C .3D .153.如图,某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成,则它的体积为( )A .44π+B .84π+C .44π3+D .48π3+4.为了得到函数21log 4x y +=的图像,只需把函数2log y x =的图像上所有的点( ) A 向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B 向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 C 向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 D 向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度5.某程序框图如图所示,若使输出的结果不大于20,则输入的整数i 的最大值为( )A .3B .4C .5D .6正视图侧视图俯视图6.如图,圆锥的高PO =底面⊙O 的直径2AB =,C 是圆上一点,且30CAB ∠=,D 为AC 的中点,则直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为( ) A .12BCD .137.若曲线1C :2220x y x +-=与曲线2C :()0y y mx m --=有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是( )A.⎛ ⎝⎭B.30,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C .33⎡-⎢⎣⎦D .3,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.三棱锥A BCD -中,AB AC AD 、、两两垂直,其外接球半径为2,设三棱锥A BCD -的侧面积为S ,则S 的最大值为( ) A .4B .6C .8D .169.已知)221e πa x dx -=⎰,若()20172201701220171()ax b b x b x b x x -=++++∈R ,则20171222017222b b b +++的值为( ) A .0 B .1- C .1D .e10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”,才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足(),,MN M N =∅,M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(),M N 为戴金德分割.试判断,对于任意戴金德分割(),M N ,下列选项中一定不成立的是( ) A .M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B .M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C .M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D .M 有一个最大元素,N 没有最小元素11.已知函数()3211201732f x mx nx x =+++,其中{}{}2,4,6,8,1,3,5,7m n ∈∈,从这些函数中任取不同的两个函数,在它们在(1,(1))f 处的切线相互平行的概率是( )A .7120B .760 C .730D .以上都不对 12.若存在正实数x y z 、、满足e 2z x z ≤≤且ln y z x z =,则ln yx的取值范围为( )A .[)1,+∞B .[]1,e 1-C .(],e 1-∞-D .11,ln 22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.13.在ABC △中,边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若()cos 3cos b C a c B =-,则cos B =_________.14.已知点(,)P x y 的坐标满足条件400x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若点O 为坐标原点,点()1,1M --,那么OM OP 的最大值等于_________.15.动点(),M x y 到点()2,0的距离比到y 轴的距离大2,则动点M 的轨迹方程为_________.16.在ABC △中,A θ∠=,D E 、分别为AB AC 、的中点,且BE CD ⊥,则cos2θ的最小值为_________. 三、解答题(17~21每小题12分,22或23题10分,共70分.在答题卷上解答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).17.设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-,且1231a a a +、、成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列1n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.为宣传3月5日学雷锋纪念日,成都七中在高一,高二年级中举行学雷锋知识竞赛,每年级出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432,乙队每人答对的概率都是23.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用X 表示甲队总得分.(1)求随机变量X 的分布列及其数学期望()E X ; (2)求甲队和乙队得分之和为4的概率.19.已知等边AB C ''△,BCD △中,1,BD CD BC ===1所示),现将B 与B ',C 与C '重合,将AB C ''△向上折起,使得AD =2所示).(1)若BC 的中点O ,求证:BCD AOD ⊥平面平面;(2)在线段AC 上是否存在一点E ,使ED BCD 与面成30︒角,若存在,求出CE 的长度,若不存在,请说明理由;(3)求三棱锥A BCD -的外接球的表面积.20.已知圆222:2,E x y +=将圆2E按伸缩变换:x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线1E(1)求1E 的方程;(2)过直线2x =上的点M 作圆的两条切线,设切点分别是A B 、,若直线AB 与交于C D 、两点,求||||CD AB 的取值范围. 21.已知函数()sin ln sin g x x x θθ=--在[)1,+∞单调递增,其中()0,πθ∈(1)求θ的值; (2)若()()221x f x g x x -=+,当[]1,2x ∈时,试比较()f x 与()12f x '+的大小关系(其中()f x '是()f x 的导函数),请写出详细的推理过程;(3)当0x ≥时,()e 11x x kg x --≥+恒成立,求k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.【选修4—4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C :()2sin 2cos 0a a ρθθ=>,又过点()2,4P --的直线l的参数方程为224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),l 与曲线C 分别交于M N 、. (1)写出曲线C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程;(2)若,,PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 23.【选修4—5:不等式选讲】 设函数()f x =()10x x a a a++-> (1)证明:()2f x ≥;2E 1E BA CDf ,求a的取值范围.(2)若(3)5四川省成都七中2017届高三二诊模拟考试数学(理)试卷答 案一、选择题 1~5.ABDCB 6~10.CBCBC 11~12.BB二、填空题 13.1314.415.()280y x x =≥或()00y x =<16.725三、解答题17.解:(1)由已知12n n S a a =-有()11221n n n n n a S S a a n --=-=->, 即12(1)n n a a n -=>,从而21312,4a a a a ==. 又123,1,a a a +成等差数列,即()13221a a a +=+,∴()1114221a a a +=+,解得12a =.∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列故2n n a =.…………6分(2)由(1)得112nn n n a -=-,因数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公比为12的等比数列, ∴()()111221*********nn nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=-=---.………………12分 18.解:(1)X 的可能取值为0,1,2,3.()1111043224P X ==⨯⨯=,()311121111114324324324P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,()32112131111243243243224P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,()321134324P X ==⨯⨯=,X ∴的分布列为()11111012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………7分 (2)设“甲队和乙队得分之和为4”事件A ,包含“甲队3分且乙队1分”,“甲队2分且乙队2分”,“甲队1分且乙队3分”三个基本事件,则:()223123312111211214332433433P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………………………………12分19.解:(1)ABC △为等边三角形,BCD △为等腰三角形,且O 为中点 ∴,BCAO BC DO ⊥⊥,AO DO O =,BC ∴⊥平面AOD ,又BC ⊂面ABC BCD AOD ∴⊥平面平面∴平面BCD ⊥平面AOD …………3分(2)法一:作,AH DO ⊥交DO 的延长线于H ,则平面BCD 平面,AOD HD=则AH ⊥平面BCD ,在t R BCD △中,12OD BC ==,在Rt ACO △中,AO AC =,在AOD △中, 222cos 2AD OD AO ADO AD OD +-∠==⋅sin ADO ∴∠=Rt ADH △中sin 1AH AD ADO =∠=,设(0CE x x =≤,作EF CH F ⊥于,平面AHC ⊥平面BCD ,,EF BCD EDF ∴⊥∠平面就是ED BCD 与面所成的角.由,2EF CE EF xAH AC =∴=(※), 在Rt CDE △中,DE =ED BCD 与面成30︒1,12xx =∴=,当1CE =时,ED BCD 与面成30角………………………………………………………………………9分DABCOEFH法二:在解法1中接(※),以D 为坐标原点,以直线DB DC 、分别为x 轴,y 轴的正方向,以过D 与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系则()0,0,0,,D E x ⎫⎪⎪⎝⎭2DE ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭, 又平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =,要使ED BCD 与面成30角,只需使DE 与n 成60, 只需使cos60DE nDEn=1,12xx =∴=, 当1CE =时ED BCD与面成30角法三:将原图补形成正方体(如右图所示),再计算 (3)将原图补形成正方体,则外接球的半径r=,表面积:3π………………………………12分 20.解:(1)按伸缩变换:2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得:()()2222,x y ''+=则1E :2212x y +=…………………3分(2)设直线2x =上任意一点M 的坐标是()2,,t t ∈R 切点A B 、坐标分别是()()1122,,x y x y 、则经过A点的切线斜率是11x y -,方程是,经过B 点的切线方程是,又两条切线AM BN 、相112x x y y +=222x x y y +=z交于()2,M t 11222222x ty x ty +=⎧∴⎨+=⎩ 所以经过A B 、两点的直线l 的方程是22x ty +=当()()0,1,1,1,1,,1,22t A B C D ⎛⎛=-- ⎝⎭⎝⎭,|||||2,||2CD CD AB AB ∴==∴= 当0t ≠时,联立222212x y t x y -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,整理得()222816820t x x t +-+-=设,C D 坐标分别为()()3344,,x y x y 、则3422342168828x x t t x x t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩)224||8t CD t +=+||AB =)3224||||t CD AB +∴=244,t x +=>设()110,4f x u x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭又令 ()313261,0,4x u u u ϕ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭()201960,4x u b u ϕ=-+=⇒=()104u ϕ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭在,()()104u ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(()(1,f x∴∈,∴||||2CD AB ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭综上所述,||||CD AB ∴的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭……………………………………………………………………………………………12分 21.解:(1)由题:()1sin 0g x x θ'=-≥恒成立[)()1sin 1,x x θ∴≥∈+∞恒成立 sin 1θ∴≥sin 1θ∴=()0,πθ∈π2θ∴=……2分(2)()()222121ln 1x f x g x x x x x x -=+=-+--()231221f x x x x '∴=--+ ()()23312ln 2f x f x x x x x x '∴-=-++--令()ln h x x x =-,()233122H x x x x =+--()110h x x'∴=-≥()h x ∴单调递增则()()11h x h ≥=又()24326x x H x x--+'=令()2326x x x ϕ=--+显然()x ϕ在[]1,2单调递减 且()()11,210,ϕϕ==-则()01,2x ∃∈使得()H x 在()01,x 单调增,在()0,2x 单调递减∴()()(){}()min1min 1,222H x H H H ===-∴()()122H x H ≥=- ∴()()()()()()min min12f x f x h x H x h x H x '-=+≥+=又两个函数的最小值不同时取得;∴()()12f x f x '->即:()()12f x f x '>+……………………………………………………………7分(3)()e 11x x kg x --≥+恒成立,即:()()e ln 1110xk x k x ++-+-≥恒成立,令()()()e ln 111xF x k x k x =++-+-,则()()e 11x kF x k x '=+-++ 由(1)得:()()1g x g ≥即()ln 101x x x --≥≥,即:()()1ln 110x x x +≥++≥ 即:()()ln 10x x x ≥+≥e 1x x ∴≥+()()()111kF x x k x '∴≥++-++ 当1k =时,0x ≥()()()11112011k F x x k x x x '≥++-+≥++-≥++∴()F x 单调增,∴()()00F x F ≥=满足当(0,1)k ∈0x ≥由对角函数性质()()()()111101kF x x k k k x '≥++-+≥+-+=+ ∴()F x 单调增,∴()()00F x F ≥=满足当0k ≤时,0x ≥由函数的单调性知()()()()111101kF x x k k k x '≥++-+≥+-+=+ ∴()F x 单调增,∴()()00F x F ≥=满足当1k >时,()()2e 1xkF x x ''=-+则()F x ''单调递增,又()010F k ''=-<且(),0x F x ''→+∞>则()F x ''在(0,)+∞存在唯一零点0t ,则()F x '在0(0,)t 单减,在0(,)t +∞单增,∴当0(0,)x t ∈时,()()00F x F '<=∴()F x 在0(0,)t 单减,∴()(0)0F x F <=不合题意综上:1k ≤………………………………………………………………………………………………12分22.解:(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a >=- 11 - / 11直线l 的普通方程为2=0x y --.………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立,得()()()()224840840t a t a a a +++=*∆=+>-.设点M N 、分别对应参数12,t t 、恰为上述方程的根. 则1212,,||PM t PN t MN t t ===-.由题设得()()221212121212.4t t t t t t t t t t -+-即=,=由(*)得()()121224,840t t a t t a =>+=++则有 ()()24540,a a -=++得1,a =或4,a =-因为1a >,所以1a =.…………………………………10分 23.解:(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知:()min 12,f x a a=+≥当且仅当1a =取等,所以()2f x ≥.…………………………………………………………………………………………………4分 (2)因为()35f <,所以1|3||3|5a a ++-<⇔13|3|5a a ++-<⇔1|3|2a a-<-⇔ 11232a a a -<-<-a <10分。

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