控制系统的滞后-超前校正设计课程设计题目: 控制系统的滞后－超前校正设计初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是)2)(1()(++=s s s Ks G要求系统的静态速度误差系数110v K S -≥，相角裕度 45≥γ。
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） （1） 用MATLAB 画出满足初始条件的最小K 值的系统伯德图，计算系统的幅值裕度和相角裕度。
（2） 前向通路中插入一相位滞后－超前校正，确定校正网络的传递函数。
（3） 用MATLAB 画出未校正和已校正系统的根轨迹。
（4） 用Matlab 画出已校正系统的单位阶跃响应曲线、求出超调量、峰值时间、调节时间及稳态误差。
（5） 课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB 程序和MATLAB 输出。
说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：任务 时间（天）指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料2 分析、计算 2 编写程序 1 撰写报告2论文答辩 1指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录 (I)摘要 (II)1设计题目和设计要求 (1)1.1题目 (1)1.2初始条件 (1)1.3设计要求 (1)1.4主要任务 (1)2设计原理 (2)2.1滞后-超前校正原理 (2)3设计方案 (4)3.1校正前系统分析 (4)3.1.1确定未校正系统的K值 (4)3.1.2未校正系统的伯德图和单位阶跃响应曲线和根轨迹 (4)3.1.3未校正系统的相角裕度和幅值裕度 (7)3.2方案选择 (7)4设计分析与计算 (8)4.1校正环节参数计算 (8)的确定 (8)4.1.1已校正系统截止频率ωcω的确定 (8)4.1.4校正环节滞后部分交接频率aω的确定 (8)4.1.1校正环节超前部分交接频率b4.2校正环节的传递函数 (8)4.3已校正系统传递函数 (9)5已校正系统的仿真波形及仿真程序 (10)5.1已校正系统的根轨迹 (10)5.2已校正系统的伯德图 (11)5.3已校正系统的单位阶跃响应曲线 (12)6结果分析 (13)7总结与体会 (14)参考文献 (15)本科生课程设计成绩评定表 (16)《自动控制原理》在工程应用中有了不可缺少作用，拥有非常重要的地位，一个理想的控制系统更是重要。
然而，理想的控制系统是难以实现的。
要想拥有一个近乎理想的控制系统，就得对设计的控制系统进行校正设计。
对于一个控制系统，要想知道其的性能是否满足工程应用的要求，就得对系统进行分析。
对性能指标不满足要求的系统必须对其校正，目前常用的无源串联校正方法有超前校正、滞后校正和滞后-超前校正。
滞后-超前校正方法融合了超前和滞后校正的特点，具有更好的校正性能。
在校正设计过程中需要利用仿真软件MATLAB绘制系统的伯德图、根轨迹和单位阶跃响应曲线以获得系统的相关参数。
在本文中采用的滞后-超前校正设计校正了不稳定系统，使校正后的系统变得稳定且满足了性能指标要求，达到了校正的目的。
关键字：滞后-超前、系统校正、控制系统的滞后－超前校正设计1设计题目和设计要求1.1题目控制系统的滞后－超前校正设计1.2初始条件已知一单位反馈系统的开环传递函数是)2)(1()(++=s s s Ks G1.3设计要求要求系统的静态速度误差系数110v K S -≥，相角裕度 45≥γ。
1.4主要任务1）用MATLAB 画出满足初始条件的最小K 值的系统伯德图，计算系统的幅值裕度和相角裕度。
2）向通路中插入一相位滞后－超前校正，确定校正网络的传递函数。
3）用MATLAB 画出未校正和已校正系统的根轨迹。
4）用Matlab 画出已校正系统的单位阶跃响应曲线、求出超调量、峰值时间、调节时间及稳态误差。
5）课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB 程序和MATLAB 输出。
2设计原理系统校正，就是在系统中加入一些机构或装置，使系统整个性能发生改变，改善系统的各项性能指标，从而满足给定的性能指标要求。
插入系统的机构或装置其参数可根据校正前系统的需要来设计校正环节的结构参数，从而达到校正系统的目的。
校正环节分为无源校正和有源校正。
常用的无源校正环节有滞后校正、超前校正、滞后-超前校正这三种类型。
本文主要采用滞后-超前校正。
2.1滞后-超前校正原理无源滞后-超前校正网络的电路图如图2-1所示。
由并联的R 1和C 1和串联的R 2和C 2组成滞后-超前网络。
图2-1 无源滞后-超前校正网络电路图其传递函数为：2(1+T s)(1+T )Gc(S)=T T s +(T +T +T )s+1a b a b a b ab s （2-1）式中：22a 1112T = T = T =b ab R C R C R C 经过化简后可得：(1)(1)G ()(1)(1)a b C ba T s T s S T aT s s a++=++（2-2）其中，(1)(1)a a T s aT s ++是校正网络的滞后部分，b (1)(1)b T s T s a ++是校正网络的超前部分。
无源滞后-超前网络的对数幅频渐近特性曲线如图2-2所示，其低频部分和高频部分均起始于和终止于0dB 水平线。
从图中可知，只要确定ωa , ωb ,和a ，或者确定T a , T b ,和a 三个独立的变量，校正网络的对数幅频渐近线的形状和传递函数就可以确定。
图2-2 无源滞后-超前网络对数幅频特性曲线滞后-超前校正环节同时具有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。
当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相位裕度和稳态精度较高时，采用滞后-超前校正为宜。
其基本原理是利用滞后-超前网络的超前部分来增大系统的相位裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。
采用解析法的滞后-超前校正的设计步骤如下： （1）根据稳态性能要求确定开环增益K 。
（2）绘制未校正系统的对数频率特性曲线，求出开环截止频率、相角裕度、幅值裕度；（3）在未校正系统对数频率特性曲线上，选择一频率作为校正后的截止频率c ω，使0G （j ）=-180cω︒∠，要求的相角裕度将由校正网络的超前部分补偿； （4）计算需要补偿的相角m 5ϕγ︒=+，并由=1sin 1sin m m αϕϕ+-确定值α； （5）选择校正网络滞后部分的零点10.1a c T ω=；（6）跟据未校正系统在c ω处的分贝值，由0c (j )1c b G T ωωα=得出b T （7）由上述参数确定校正环节的传递函数和校正后系统的传递函数（8）将得到的数据与设计要求对比，如符合要求，则设计成功，否则，就需要调整滞后部分的相关参数，得到新的滞后部分传递函数，直至符合设计要求为止。
3设计方案在选择合适的校正方案之前，应先计算系统的相关参数和对系统的稳定性判断。
判定方法是用MATLAB 画出未校正系统的伯德图，算出未校正系统的相角裕度和幅值裕度，根据计算结果判别系统是否稳定以及选定合适的校正方案。
3.1校正前系统分析3.1.1确定未校正系统的K 值由静态速度误差系数的定义：lim ()lim(1)(2)2V s s KKK sG s s s →→===++ （3-1）根据任务设计要求系统的静态速度误差系数110v K S -≥可得：K=201S -,于是可得待校正系统的开环传递函数为：20()(1)(2)G s s s s =++ （3-2）3.1.2未校正系统的伯德图和单位阶跃响应曲线和根轨迹1）绘制未校正系统的伯德图程序如下，未校正系统伯德图如图3-1所示。
思路：定义三个变量num2，den2，sys2分别保存系统K 值、传递函数分母多项式的乘积和系统传递函数的结果。
最后调用margin 函数画出系统伯德图，并且画出网格。
从图上即可读出相角裕度和幅值裕度。
num2=10;den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]); sys2=tf(num2,den2); margin(sys2) grid ontitle('未校正系统伯德图')2）绘制未校正系统的单位阶跃响应曲线程序如下，单位阶跃响应曲线如图3-2所示。
思路：定义三个变量num2，den2，sys2分别保存系统K值、传递函数分母多项式的乘积和系统传递函数的结果。
在调用feedback函数计算系统的单位阶跃响应并保存在变量sys2_step中。
最后调用step函数画出系统的单位阶跃响应曲线，并且画出网格。
从图上即可观察系统的单位阶跃响应。
num2=10;den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);sys2=tf(num2,den2);sys2_step=feedback(sys2,1);step(sys2_step)grid on图3-1 未校正系统伯德图3）绘制未校正系统的根轨迹曲线程序如下，单位阶跃响应曲线如图3-3所示。
思路：定义三个变量num2，den2，sys2分别保存系统K值、传递函数分母多项式的乘积和系统传递函数的结果。
最后调用rlocus函数画出系统根轨迹。
num2=10;den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);sys2=tf(num2,den2);rlocus(sys2)hold on图3-2 未校正系统的单位阶跃响应曲线图3-3 未校正系统的根轨迹3.1.3未校正系统的相角裕度和幅值裕度未校正系统伯德图如图3-1所示，从图中可得出未校正系统的穿越频率为1.41rad/s ，对应的幅值裕度为-10.5dB ，截止频率为2.43rad/s,对应的相角裕度为-28.1°。
由于相角裕度小于零，幅值裕度小于1为负值，说明未校正系统不稳定。
从图3-2更加直观的看出未校正系统的动态性能，未校正系统的单位阶跃响应曲线呈发散震荡形式，系统严重不稳定。
3.2方案选择由计算的幅值裕度和相角裕度可知原系统是不稳定的，根据任务设计要求要使校正后的系统的相角裕度 45≥γ，所以本文采用滞后-超前校正设计，增大系统的相角裕度，同时改善系统的稳态性能。
4设计分析与计算4.1校正环节参数计算根据给定的系统性能指标结合计算出来的未校正系统的截止频率、幅值裕度和相角裕度，按照滞后-超前校正的设计步骤，确定出校正环节参数。
4.1.1已校正系统截止频率ωc 的确定为了降低系统的阶次，且保证中频区斜率为-20dB/dec 且占有较宽的频带，由0()180C G ω︒∠=-得90+arctan +arctan 0.5180c c ωω︒︒= （4-1）解得：c 1.41rad s ω= 取c 1.50rad s ω=4.1.4校正环节滞后部分交接频率a ω的确定任务设计要求 45≥γ，为保证校正后的系统满足要求，取=45γ由m 545550ϕγ︒︒︒︒=+=+=得：m m 1sin 1sin 507.551sin 1sin 50ϕαϕ︒︒++===--所以由10.1a c T ω=得：116.670.10.1 1.5a c T s ω===⨯所以： 10.15a a T rad s ω==4.1.1校正环节超前部分交接频率b ω的确定由0()1b cc T G j ωωα=得： 7.55 1.501.1310c b T s K αω⨯=== 所以：10.58b b T rad s ω==4.2校正环节的传递函数把上述计算得到的结果带入式（2-2）可得校正环节的传递函数：(1 6.67)(1 1.13)G ()(150.36)(10.15)C s s S s s ++=++ （4-2）4.3已校正系统传递函数把式（3-2）未校正系统的传递函数和式（4-2）校正环节的传递函数相乘即可得到已校正系统的传递函数：10(1 6.67)(1 1.13)G ()(1)(0.51)(150.36)(10.15)s s S s s s s s ++=++++ （4-3）根据计算的参数可知，校正后系统的截止频率为c 1.5rad s ω=。