2013届选修4—4《极坐标与参数方程》复习讲义一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22=的参数方程为()为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==2224.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．圆的极坐标方程①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 a ρ=；②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； ③以(,)2a π)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是)0(≥=ραθ和(0)θπαρ=+≥.②过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 化为直角坐标方程为x a =. ③过点(,)2A a π且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sin a ρθ=. 化为直角坐标方程为y a =.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式．．．．⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρθ的象限由点(x,y)所在的象限确定 三、课前预习1．直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 答案：C2．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π答案：A3．在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是（ ）A 、(1,)2πB 、(1,)2π- C 、 (1,0) D 、(1，π)解：将极坐标方程化为普通方程得：0222=++y y x ，圆心的坐标为)1,0(-，其极坐标为)23,1(π，选B 4．点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π答案：C5．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( )A 、1B 、2C 、3D 、4 答案：A6．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A 、一条直线B 、两条直线C 、一条射线D 、两条射线 答案：D7．()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） A 、-6 B 、16- C 、6 D 、16答案：A8．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A 、22(2)4x y -+= B 、224x y += C 、22(2)4x y +-= D 、22(1)(1)4x y -+-= 答案：A9．曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ） A 、 相交过圆心 B 、相交 C 、相切 D 、相离答案：D10．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 答案：D11．在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 . 答案：112．圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l ：x =22+3ty =13t⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 。

答案：213．已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________． 答案：25(1,)5． 14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为0,3πθθ==，曲线3C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），则曲线1C 、2C 、3C 所围成的封闭图形的面积是 .答案：23π 四、典例分析考向一 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ 【例1 】（1）点M 的极坐标分别是(2,)2π，(4,)π，2(6,)3π，3(2,)4π换算成直角坐标依次是 ， ， ，（2）点M 的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)-，(2,2)--，(3,1)-如果0,02ρθπ≥≤< 换算成极坐标依次是 ， ， ，【例2】在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．分析：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)过圆心的直线的直角坐标方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。

【变式1】在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ B ） A 、ρθ=22cos B 、ρθ=-22cos C 、ρθ=22sin D 、ρθ=-22sin分析：圆心在()2，π即指的是直角坐标系中的)02(，-圆的直角坐标方程：22(2)2x y ++=。

圆的极坐标方程为ρθ=-22cos【变式2】已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.解:曲线21,C C 的直角坐标方程分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点的 直角坐标为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π 【变式3】在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是 ．解:如图所示,在△OAB 中，65367,5||,4||πππ=-=∠==AOB OB OA 5sin 21=∠=⇒∆AOB OB OA S AOB 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。

考向二 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 【例3】（1）曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 ( C )A 、22(1)(1)1x y -++= B 、22(1)(1)1x y +++= C 、22(1)(1)1x y ++-=D 、22(1)(1)1x y -+-=（2）参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11表示的曲线是（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线 D 、圆 答案：B【变式1】已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________。

答案：2解：抛物线的标准方程为x y 82=，它的焦点坐标是)0,2(F ，所以直线的方程是2-=x y ，圆心到直线的距离为2【变式2】若直线340x y m ++=与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞⋃+∞ .【变式3】直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ） A 、98 B 、1404C 、82D 、9343+分析:2101x tx y y t=-+⎧⇒++=⎨=-⎩，22(3)(1)25x y -++=得圆心到直线的距离311322d -+==，∴弦长=22282r d -= 【例4】已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，求2x y +的取值范围。