与三角形有关的向量问题三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。

在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。

一、 三角形基本问题例1. 如图∆ABC 中，= c ，= a ，= b ， 则下列推导不正确的是…（D ）A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

B ．若a ⋅b = 0，则△ABC 为直角三角形。

C ．若a ⋅b = b ⋅c ，则△ABC 为等腰三角形。

D ．若c ⋅(a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。

解：A ．a ⋅b = |a ||b |θcos < 0，则θcos < 0，θ为钝角B ．显然成立C ．由题设：|a |cos C = |c |cos A ，即a 、c 在b 上的投影相等D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2. 如图：已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN =21BC , 且MN ∥BC 证：∵MN 是△ABC 的中位线， ∴21=, 21= ∴21)(212121=-=-=-= ∴MN =21BC , 且MN ∥BC例 3. 已知：平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。

证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R) 则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB令1-t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1 充分性：=-=λ+ μ-= (λ-1)+ μ= -μ+ μ= μ(-) = μ ∴三点A 、B 、C 共线例4.（04浙江） 已知平面上三点C B A ,,3=4=5=，则 AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于 一般地对于∆ABC 的结论是A B C N M例 . 某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v - a ，设OA = -a ，OB = -2a ∵PO +OA =PA ∴PA = v - a ，这就是感到由正北方向 吹来的风速，∵+= ∴= v -2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：∠PBO = 45︒, P A ⊥BO , BA = AO 从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风二、 三角形重心问题例1 . 已知O 是ABC ∆内一点，OA +OB +OC =0，则O 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例1.1 已知O 是ABC ∆内一点， OA +2OB +3OC =0，则问ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比是多少？解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则2=+，()42=+，故可得： 32++()22=+=，即2-=， 故2:3:=∆∆AOC AEC S S ，则1:3:=∆∆AOC ABC S S （二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是''C AB ∆的重心， '''9131C AB AOC AOC S S S ∆∆∆==， 例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例 3. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P满足O()++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设= b ，= a ，则=+= b +21a , +== ∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设AG =λAD ，EG = μEB , 则=λ=λ(b +21a )=λb +21λa , = μ= μ(21b +a )=21μb +μa , ∵AG EG AE =+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa ∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+21)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴32313202121021=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF三、 三角形垂心问题 例1. ABC ∆中，O 为其外心，P 为平面内一点，OP OC OB OA =++ ，则P 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P满足⎪⎫ ⎛++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：C⎫⎛+=λ，且0=+=⋅⎪⎫⎛+λ例3. 已知O是ABC∆所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则O是ABC∆A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4. 如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，AB= a, = b, AH= h,则BH= h-a , = h-b , = b-a∵BH⊥, ⊥∴0)()()()()(=-⋅⇒⋅-=⋅-⇒⎭⎬⎫=⋅-=⋅-abhabhbahaahbah∴⊥又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点例4. 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2 + ||2 = ||2 + ||2 = ||2 + ||2，则O是三角形的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：设= a, = b, = c,则= c-b, = a-c, = b-a由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，化简：a2 + (c-b)2 = b2 + (a-c)2 = c2 + (b-a)2得：c•b = a•c = b•aCC从而•= (b - a )•c = b •c - a •c = 0 ∴⊥ 同理：⊥, ⊥四、 三角形外心问题例1. 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222OC OB OA ==，则O 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足++=2⎪⎫ ⎛+λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：点P 在BC 的垂直平分线上五、 三角形内心问题例 1. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P满足⎪⎫ ⎛++=OA OP λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例 2. O 是ABC ∆所在平面上一点，C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若=++c b a ，则O 是ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：因为0=++OC c OB b OA a ，又AB OA OB +=，AC OA OC +=，所以()=++++c b c b a，即⎪⎫ ⎛++=c b a bc 例3. 三个不共线向量,,满足⎫⎛+⋅=⎫⎛+⋅=⎫⎛+⋅则O是ABC∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4. 若I是ABC∆的内心，CBA,,所对的边分别是cba,,，O为ABC∆所在平面上一点，求证：cbaOCcOBbOAa++⋅+⋅+⋅=六、三角形心心关系在ABC∆中，HGO,,分别是ABC∆的外心、重心、垂心。

（1）求证：OCOBOAOH++=；（2）求证：HGO,,三点共线；（3）若OAAH=，求BAC∠的大小.解：连接BO并延长交ABC∆外接圆于点D 连接AD,CD,AH,CH,显然BCAH⊥，BCCD⊥，所以CDAH//，同理DACH//，所以CDHA=，即--=-=-，所以OH++=因为G是是ABC∆的重心，所以()OAACABAOAGOG+⎪⎭⎫⎝⎛+=-=2132=()++31=()++31。

OAAH=，则=-，所以=+，两边平方并注意到==，又BOC∠cos=BAC∠2cos=21-，323ππ或=∠BAC七、八、DC。