第五章傅里叶变换光学与相因子分析方法5.1 衍射系统 波前变换◆引言现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换”概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支——傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transform optics)，也简称为博里叶光学，它导致了光学信息处理技术的兴起．现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干涉、衍射理论的综合和提高，它与衍射、尤其与夫琅禾费衍射息息相关．对于熟悉经典波动光学的人们来说，由于他们有着较充分的概念储备和较充实的物理图像，因而具备更为有利的条件，去深刻而灵活地掌握现代变换光学．◆衍射系统及其三个波前如图所示，一个衍射系统以衍射屏为界被分为前后两个空间．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射波较为复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相面—般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成的衍射图样．在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布：其中，入射场),(~1y x U 是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场),(~2y x U 是衍射屏的透射场或反射场，它是衍射空间初端的波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布；而衍射场),(~y x U ''是纵向特定位置的波前函数。
由此可见，整个衍射系统贯穿着波前变换：波前),(~),(~21y x U y x U →这是衍射屏的作用：波前),(~),(~2y x U y x U ''→这是波的传播行为．由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是波衍射问题的基本提法，亦即波传播问 题的基本提法．标量波的传播规律己由惠更斯—菲涅耳—基尔霍夫理论(HFK 理论)给出．在 常见的傍轴情形下，其表达式为其积分核为ikr e ，这是一个球面波的相因子形式．换言之HFK 理论是—个关于衍射的球面波理论——衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加．◆衍射屏函数及其三种类型我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述衍射屏的自身特征：),(12),(),(~),(~),(~y x i e y x t y x U y x U y x t ϕ== 即，屏函数(screen function)等于出射波前函数与入射波前函数之比．对于透射屏，t ~可称作复振幅透过率函数；对于反射屏，t ~可称作复振幅反射率函数．无疑，屏函数通常也是复函 数，含模函数),(y x t 和辐角函数),(y x ϕ．唯象地看，实际上的衍射屏可分为三种类型，振幅型、相位型和相幅型．若),(y x ϕ为常数，仅有函数),(y x t ，则该衍射屏为振幅型，凡孔型衍射屏均系振幅型．若),(y x t 为常数，仅有函数),(y x ϕ，则该衍射屏为相位型，这在此之前似乎少见，其实，闪耀光栅不论其为透射的或反射的，均是一个相位型衍射屏，下一节即将研究的透镜相位衍射元件．当然，更为一般的情况是相幅型衍射屏，),(y x t 、),(y x ϕ皆为函数形式，即不仅出射场的振幅分布),(2y x A 有别于入射场的),(1y x A ，而且出射场的相位分布),(2y x ϕ也有别于入射场的),(1y x ϕ。
◆什么是衍射引入屏函数以后，可以将衍射场积分表达式改写为我们注意到，这不等式右边的积分式表达的正是无衍射屏存在时白由传播的光场，由于有了屏函数t ~的作用，改变了波前，从而改变了后场分布，遂即发生了衍射．对于波衍射．我们曾有过几种不同深度的认识和表述．最初人们认为，当光在传播过程中遇到障碍物时，将发生偏离直线传播或偏离几何光学的传播行为，这种现象被称为衍射．在把惠更斯----菲涅耳原理应用于网孔、圆屏、单缝、多缝、矩孔等衍射问题时，人们又意识到，衍射的发生是由于光波在传播过程中其波面受到某种限制，即自由、完整的波面发生了破缺．现在我们可以这样表述，当光在传播过程中，由于某种原因而改变了波前的复振幅分布包括振幅分布或相位分布，则后场不再是自由传播时的光波场．这便是衍射．以上二种认识和表述都是可取的，反映了人们对衍射现象的认识在逐步深入．其中，第二种表述是对衍射现象因果关系的一种普遍和本质的概括．逐步深入而形成的对光波衍射的普遍认识，尤疑将对实际衍射问题的分析起到有效的指导作用．比如，一张含有字符形象或景物图像的灰度胶片置于光场中，则将发生衍射；一张浮雕型透明胶片置于光场中，也将发生衍射．这些事情现在看来都不足为怪了。
5.2 相位衍射元件一一透镜◆透镜的相位变换函数透镜是光学系统中常用的典型的光学元件，在光路或光场中，透镜可被看作一个改变波前函数的衍射屏．这里，我们将以波前光学的眼光分别导出它们的屏函数．在光学系统中，透镜有两方面的作用，参见图***(a)．一方面它是一个光瞳，起限制波前的作用．仅允许入射光波中央那一部分波前∑1，进入光学系统．另一万面它起变换波前的作用，比如，它将发散的球面波前，改变为会聚的球而波前∑2，当然，更为实际的情形是改变为偏离球而的像差波面∑；总之，透镜改变了波前的聚散性．以往的经典光学，分别用有限孔径引起的光波衍射和透镜本身的几何成像及像差来撤述上述两种作用。
其实，从波前光学的观点出发，可将透镜这两方面的性质，用一个复振幅透过率函数(屏函数)统一地给以反映．如图 (b)所示，在透镜前后各取一平面(y x ,)，设光场的入射波前函数和透射波前函数分别为于是，透镜的屏函数表现为这里，22y x r +=．D 是透镜孔径．设透镜材料对入射光是透明的，并忽略透镜对光的吸收、反射等因素造成的光强的损失，则0d 。
这样，透镜就成为纯相位衍射元件，其孔径内的屏函数就成为下面，我们在傍轴且薄透镜条件下导出透镜屏函数。
如图***(b)所示，由于透镜很薄，光线入射点与出射点的坐标相近，即光程可近似地沿透镜光轴方向来计算．于是，相位差函数以光铀处透镜厚度0d 为参考值，改写于是这里0ϕ是一个与(y x ,)无关的常数，它不影响波前相位分布，常可略去不写．在傍轴条件下，透镜前后两小段气隙的几何厚度1∆和2∆，分别为其中，21,r r 分别是透镜前后两个表面的曲率半径，按一般的正负号约定，它们可取正值或 负值．例如，对于双凸透镜01>r 而02<r ．上述表达式普遍地适用于各种透镜．于是，这里，F 目前仅是一个缩写符号，尚未显示其明确的物理意义．最后，给出透镜作为相位衍射元件其相位变换函数为由此可见，傍轴条件下薄透镜的相位变换函数其特点是一个二次型的相因子．如果是非傍轴或厚透镜情形，相因子就没有那么简单了。
5.3 波前相因子分析法◆相因子分析法概述原则上说，根据菲涅尔---基尔霍夫衍射积分公式，可由衍射屏的出射波前),(~2y x U ，导出前方接收平面上的衍射场),(~y x U ''．然而．这种积分运算通常是很复杂的，总是需要在一定条件下作近似处理；即便如此，能定量地给出解析结果的情况也为数不多．不过，波衍射理论或波动理论为人们提供了一个更有价值的观念——二维波前决定二维波场，而波场的重要特征体现在波前函数的相位因子上．如果将复杂波前函数中的相位分布与平面波或球面波的相因子作一对比，而发现有所联系的活，那么这复杂波场就可以看成是一系列平面波成分或—系列球面波成分的叠加，因而这复杂波场也就成为人们在概念上容易想象掌握的—种波场了．另一方面，复杂波场所包含的各种基元成分一一不同方向的平面波和不同聚散中心的球面波．还可以被作为相位元件的透镜所分离，这就为人们对波前作进一步处理提供了途径．这两方面的结合和匹配，使波前的分解、合成和分离有了切实的物理寄托．所渭波前相因子分析法，就是根据波前函数的相因子，来判断其波场的类型、分析其衍 射场的主要持征。
不少场合，人们只需要掌握衍射场的主要特征就够用了，在全息术中尤其 如此。
在这种场合，波前相因子分析法要比衍射积分运算显得更简捷．其实，波前相因子分忻法对于我们并不陌生．在现代波动光学的理论体系中，早在第1章已经论及波前的描述和识别．这一节再作以上论述，旨在对波前相因子发给出一总结和提 高，以便进一步展开而跨入傅里叶光学领域．◆波前相因子和变换相因子为了熟练运用相因子分析法，我们应当熟悉两类典型相因子函数——一反映波场的波前相因子和反映元件作用的变换相因子．(1)波前相因子①平面波． 平面波之波前函数具有线性相因子，其线性系数(21sin ,sin θθ)与平面波传播方向一一对应，(21,θθ)是波矢量k 的两个方向余弦角的余角。
②球面波． 傍轴球面波之波前函数具有二次相因子和交叉线性相因子，指数上“土”与球面波聚散性一一对应一一“十”对应发散球面波，“一”对应会聚球面波；交叉线性相因子系数(00,y x )决定聚散中心的横坐标，相因子中分母z 决定了聚散中心Q 与观测平面(y x ,)的纵向距离，即聚散中心Q 的位置坐标为(2)变换相因子透镜． 薄透镜之变换函数具有二次相因子其中F 值等于透镜焦距．F ＞0对应会聚透镜，F ＜0对应发散透镜．值得指出的是，在某种 波前变换的场合，如果出现了形同L t ~有二次相因子的变换函数，作用在波前),(~y x U 上，则其实际效果相当于),(~y x U 波经历一个透镜的聚散，不管那场合是否具有实物透镜存在．简言之，变换函数中的二次相因子是一等效透镜．下面，运用相因子分析法，再解决波前光学中一个重要实例．◆余弦型环状波带片的衍射场余弦型环状波带片的屏函数其标准形式为它具有轴对称性．可以设计让一傍轴球面波与一平面波作相干叠加、再对曝光底片H 作线 性冲洗、而获得这样一张余弦型环状波带片，如图所示．当用一束平面波照射这张波带片时，其透射波前函数为其中，运用波前相因子分析法，可以对以上三种波成分的类型和持征作出明确的判断：波前0~U 代表一列正出射的平面衍射波，称其为0级衍射波；波前1~+U 代表一列正出射的发散球面波，发散中心在轴上1+Q 点，与波带片P 离为0Z ，称其为十1级衍射波；波前1~-U 代表一列正出射的会聚球面波，会聚中心在轴上1-Q 点，与波带片距离为0Z ，称其为一1级衍射波，如同所示．这表明余弦型环状波带片的衍射场其主要成分有一个，其中、0级平面衍射波是照明波的直接透射波，而土级发散或会聚球面衍射波的出现，说明这波带片同时起一个发散透镜和一个会聚透镜的作用，虽然这场合并无实物透镜，仅有一张薄薄的波带片．追溯其源，在于制备时那傍轴球面波提供的二次相因子这使我们又一次见识到，先一步的波前相因子，可以转化为后一步衍射场合中的光学元件．这一点正是现代波前光学中，全息光学元件的基本设计思想．当然，考虑到波带片孔径有限，上述这三种波前受到窗函数的限制，以致聚散中心并不 是一个理想的点．但是运用相因子分析法，毕竟使人们掌提了余弦型环状波带片其衍射场 的主要持征．鉴广余弦型环状波带片的衍射具有上述简单而鲜明的特征，以致以2r 为宗量的屏函数 简谐成分(*****)式，可以作为一切轴对称屏函数)(~r t 的基圆成分．5.4 余弦光栅的衍射场◆余弦光栅的屏函数和制备余弦光栅的透过率函数即其屏函数的典型表示式为这是一个特殊走向的余弦光栅，仅沿x 轴方向呈现周期性，空间周期为f d d 1,=，f 为空间频率(mm -1)，如图(a)所示．任意取向的余弦光栅，如图 (b)所示，其屏函数的一般表达式为它表明，该光栅沿两个正交方向),(y x 的空间频率为(y x f f ,)，相应的空间周期为(y x d d ,)＝y x f f 1,1。