的时候，y 2 f (x) 的图像恒在 y x 的上方，当 x 0,3 的时候，令 2 f (x) x, x 12 ,
7
即当
x

3,
12 7

的时候，满足 2 f (x) x ，即 f (x) f (x) x
14. 如图，过原点 O 的直线 AB 与函数 y log9 x 的图像交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 x 轴的
【解析】：本题考查函数的性质。
（1）由
f
(1)

5 ，得：(a
1)(a
2a
1)

5 ，解得：a1

2, a2


2 3
又
a 0 且 a 1, a 2
（2）由（1）知： f (x) (2x 1)(2x 3) ，设 t 2x , x [1,3],t [1 ,8] ，则 2
19. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) loga (ax 1)(a 0, a 1)
（1） 当 a 1 时，求函数 f (x) 的定义域； 2
（2） 当 a 1 时，求关于 x 的不等式 f (x) f (1) 的解集；
（3） 当 a 2 时，若不等式 f (x) log2 (1 2x ) m 对任意实数 x [1,3] 恒成立，求实数
12. 已知函数 f (x) | x 1| 在区间[a, ) 是增函数，则实数 a 的取值范围是______. 13. 已知函数 y f (x) 是定义在区间[3,3] 上的偶函数，它在区间[0,3] 上的图像是如图所示
的一条线段，则不等式 f (x) f (x) x 的解集为______.
【答案】8
【解析】记 n 是集合中 元素的个数，集合 A 的子集个数为 2n 23 8 个
5. 若函数 f x x2 ax 是偶函数，则 a =______.
【答案】0
【解析】因为函数 f x x2 ax 是偶函数，所以 x 的一次项系数为 0 ，即 a 0
6. 已知 lg2 a,lg3 b ，则 log3 6 = ______(用含 a, b 的代数式表示).
已知全集U R ，集合 A {x | x 3}, B {x | log2 x 1}. （1）求 A B;
（2）求 (CU A) (CU B).
16. （本小题满分 8 分） 求值：
（1） (
2 )2

(
8
1
)3

(
1)0;
27
2
17. （本小题满分 10 分）
（2） log3 2 log4 9 2log 2 2
（1） (
2 )2

(
8
1
)3

(
1)0;
27
2
（2） log3 2 log4 9 2log 2 2
【答案】：（1） 1 6
（2） 5 【解析】：本题考查对数的运算。
（1）原式=
1
(22
)2

[(
2
)3
1
]3
1
1

2
1

1
3
23 6
log 1 2
（2）原式= log3 2 log22 32 2 22 1 22 5
垂线，与函数 y log3 x 的图像分别交于 D,C 两点. 若 BD 平行于 x 轴，则四边形 ABCD 的面积为______.
【答案】
3 2
log3
2
【解析】因为点 D 和点 B 的纵坐标相等，设点 D 的横坐标为 a ，点 B 的横坐标为 b ，则
有 log3 a log9 b, log3 a log9 a2,b a2 ，又 Aa, log9 a, B(a2, log9 a2 ) 在一条
15. （本小题满分 8 分）
已知全集U R ，集合 A {x | x 3}, B {x | log2 x 1}. （1）求 A B;
（2）求 (CU A) (CU ).
【答案】：（1） A B x 2 x 3
（2） (CU A) (CU B) x x 3或x 2
9.
若函数
f
(x)

4x ,
x
1,
，则方程 f (x) 2 所有的实数根的和为______.
5 x, x 1,
10. 设 a log3 7,b 21.1, c 0.81.1 ，则 a,b,c 三者的大小关系是______.(用” <”连接)
11. 已知函数 f (x) x log2 x 3 的零点为 x0 , 若 x0 (n, n 1), n Z, 则 n ______.
【答案】2
【解析】将点坐标代入 f x xa , 22 4, a 2
3. 函数 y 2x 1 的定义域为______.
【答案】

1 2
，+

【解析】 2x 1 0, x 1 2
4. 若集合 A 1, 2, 3 , 则集合 A 的子集个数为______.
12. 已知函数 f (x) | x 1| 在区间[a, ) 是增函数，则实数 a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由绝对值函数的图像可得，区间左端点应该在-1 的右边
13. 已知函数 y f (x) 是定义在区间[3,3] 上的偶函数，它在区间[0,3] 上的图像是如图所示 的一条线段，则不等式 f (x) f (x) x 的解集为______.
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 x 0 时， f x x 1 ，则 f 2 = ______.
8. 已知函数 f (x) x2 2x 1 ，函数 y g(x) 为一次函数，若 g( f (x)) 2x2 4x 3 ，则
g(x) ______.
南京师大附中 2017-2018 学年度第一学期
高一年级期中试卷数学试卷
解析老师：杨洋 沈沐 薛䶮 韩笑
一．填空题：本大题共 14 分，每小题 3 分，共 42 分.
1. 已知集合 A 2, m, B 2m, 2 . 若 A B ，则实数 m =______.
2. 若幂函数 f x xa 的图像过点 2, 4 ，则实数 a =______.
【答案】
3,
12 7

【解析】由题意，函数 f (x) 过点 (0, 2), (3, 0), y 2 x 2, 又因为 f (x) 是偶函数，关于 3
y 轴对称，所以 f (x) f (x), 即 2 f (x) x ，又作出函数在[3,3] 上的图像，当 x 3, 0
【解析】：本题考查集合的运算。
（1）由题意知， B x x 2 ，故： A B x 2 x 3
（2） CU A x x 3 ， CU B x x 2，故： (CU A) (CU B) x x 3或x 2
16. （本小题满分 8 分） 求值：
m 的取值范围.
20. （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) x | x 1|, x R （1） 求不等式 f (x) 6 的解集；
（2） 记 f (x) 在[0, a] 上最大值为 g(a), 若 g(a) 2, 求正实数 a 的取值范围.
南京师大附中 2017-2018 学年度第一学期
【答案】 a b b
【解析】由换底公式， log3
6

lg 6 lg 3

lg
2 lg 3 lg 3

a
b
b
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 x 0 时， f x x 1 ，则 f 2 = ______.
【答案】-3
【解析】 f (2) f (2) (2 1) 3
11. 已知函数 f (x) x log2 x 3 的零点为 x0 , 若 x0 (n, n 1), n Z, 则 n ______. 【答案】2 【解析】由零点定理， f (2) 2log2 2 3 1, f (3) 3log2 3 3, f (2) f (3) 0
2
(2)5 x 2, x 3
10. 设 a log3 7,b 21.1, c 0.81.1 ，则 a,b,c 三者的大小关系是______.(用” <”连接)
【答案】 c a b 【解析】 1 log3 7 2, 21.1 2, 0 0.81.1 1 ，c a b
3. 函数 y 2x 1 的定义域为______.
4. 若集合 A 1, 2, 3 , 则集合 A 的子集个数为______.
5. 若函数 f x x2 ax 是偶函数，则 a =______.
6. 已知 lg2 a,lg3 b ，则 log3 6 = ______(用含 a, b 的代数式表示).
14. 如图，过原点 O 的直线 AB 与函数 y log9 x 的图像交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 x 轴的 垂线，与函数 y log3 x 的图像分别交于 D,C 两点. 若 BD 平行于 x 轴，则四边形 ABCD 的面积为______.
二．解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分 15. （本小题满分 8 分）
8. 已知函数 f (x) x2 2x 1 ，函数 y g(x) 为一次函数，若 g( f (x)) 2x2 4x 3 ，则 g(x) ______.
【答案】 2x 5 【解析】由题意，函数 y g(x) 为一次函数，由待定系数法，设 g(x) kx b(k 0) ，