2010-2017年全国高考数学真题--第21题导数2010年：设函数2()1x f x e x ax =---。

（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围2011年：已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2012年： 已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．2013： 一卷：已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围．2014一卷：设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+．(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．2015一卷：已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．2016一卷：已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点． （I ）求a 的取值范围； （II ）设1x ，2x 是的两个零点，证明：122x x +<．2017一卷：已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．2013.二卷：已知函数()()ln xf x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >2014二卷：已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）2015二卷：设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．2016二卷：(I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．2016三卷：设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x的最大值为A ． （Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．2017二卷：已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．2017三卷：已知函数()1ln f x x a x =--． (1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．精编答案2010年：解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12x f x e ax =-- 由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--， 故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.2011年：解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。

而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得21()01h x x >-； 当()+∞∈,1k 时，()0<x h ，可得0)(112>⋅-x h x 从而当0>x ,且1≠x 时，-)(x f （1ln -x x +x k ）0>，即>)(x f 1ln -x x +xk.（ii ）设10<<k .由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且244(1)0k ∆=-->，对称轴111>-=k x ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈k x 11,1时，()()02112>++-x x k ,故()0>'x h ,而0)1(=h ，故当⎪⎭⎫⎝⎛-∈k x 11,1时，()0h x >，可得0)(112<⋅-x h x ,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒()0>'x h ,而0)1(=h ，故当()+∞∈,1x 时，()0h x >，可得0)(112<⋅-x h x,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为(]0,∞-点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。

若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。

即以参数为分类标准，看是否符合题意。

求的答案。

此题用的便是后者。

2012一卷：（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e--'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()xg x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得：()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e2013年：解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．2014年：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-. ……………8分 设函数2()x h x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-.综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……12分2015年：(Ⅰ)根据已知，2'()3f x x a =+，若x 轴为曲线的切线，设切点横坐标为t ，则可得'()0()0f t f t =⎧⎨=⎩即2330104t a t at ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得3412a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线.（Ⅱ）当0a ≥时，2'()30f x x a =+>，于是()f x 单调递增，而1(0)4f =，于是()y f x =与()y g x =有唯一交点，且交点的横坐标(0,1)p ∈，此时函数()h x 的零点个数为1.当304a -<<时，()f x在上递减，在)+∞上递增，在x =小值为33112()048f a =+=-> 此时()y f x =与()y g x =在(0,1)内忧唯一交点，函数()h x 的零点个数为1.当34a =-时，此时极小值为0，函数()h x 的零点个数为2 当5344a -<<-时，此时的极小值小于0，因此函数()h x 的零点个数为3当54a =-时，此时()y f x =与()y g x =相交于(1,0)，函数()h x 的零点个数为2当54a <-时，此时()y f x =与()y g x =的交点的横坐标大于1，此时函数()h x 的零点个数为1综上可得，数()h x 的零点个数为：531,44532,44533,44a a a a a ⎧<->-⎪⎪⎪=-=-⎨⎪⎪-<<-⎪⎩或或2016年：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2a b <，则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-，则l n (2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(l n (2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--． 所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．2017年：（1）()f x 定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000000()e (e2)e20nn n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).2014二卷：解：（Ⅰ）()20xxf x e e-'=+-≥，等号仅当0x =时成立所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增 （Ⅱ）22()(2)4()4()(84)xx x x g x f x bf x ee b e e b x --=-=---+-，22()2[2()(42)]x x x x g x e e b e e b --'=+-++-2(2)(22)x x x x e e e e b --=+-+-+（ⅰ）当2b ≤时，()0g x '≥，等号仅当0x =时成立，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增，而(0)0g =，所以对任意0,()0x g x >>；（ⅱ）当2b >时，若x 满足222xxe eb -<+<-，即0ln(1x b <<-时()0g x '<，而(0)0g =，因此当0ln(1x b <≤-+时，()0g x <。