第8章 无穷级数练习题习题8.11．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）（2）若级数∑∞=±1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都收敛．（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞→n n u 时，级数∑∞=1n nu不一定收敛.（ ）2．用级数的“∑”形式填空（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7151311 +-+-即 ． （3）+++4ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,63524101 +++++-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和（1） -+-3322747474． （2） +++πππ543ln ln ln ．（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7453321．（5）∑∞=-+1)1(nn n．4．级数∑∞=+1)31 21(nnn是否收敛？若收敛，求其和.5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？习题8.21．用“收敛”或“发散”填空（1）∑∞=13 1n n．（）（2）∑∞=1222lnnn．（）（3）∑∞=1!n n．（）（4）∑∞=12.11nn．（）2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞=+11 9.01n n．（2）∑∞=++12658nnn．（3）∑∞=+15 23n n．3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞=--1)1 (nnnπ． (2) ∑∞=--1311)1(nnn．(3) ∑∞=-122sin)1(n nnn．(4) ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+12)1(1nnn．4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n ．（3）∑∞=--1131arcsin )1(n n n ． （4）∑∞=+-1321)1(n n n n ．（5）∑∞=12n n n． （6）∑∞=166n n n．（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)3)(2)(1(n n n n n．（9） ++++++nn 134232． （10） +-+-2227151311．习题8.31．求下列幂级数的收敛区间（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n nnx x x x 3333233322．（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+nnn x x x x x 33433323443322．（4） ++++++nnx n x x x 3322321．（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)2(64264242232n x x x x n．（6）∑∞=++-11212)1(n n nn x ． (7) ∑∞=--122212n n nx n ．(8) ∑∞=⋅+13)1(n nn n x ． (9) ∑∑∞=∞=++-112212)1(n n n n n n n x n x ．(10) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．2．利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞=--122212n n nx n ． （2） ++++753753x x x x ．（3） +++13951392x x x ． （4） +⋅+⋅+⋅433221432x x x ．（5） +⋅+⋅+⋅+⋅3254433221x x x ． （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．习题8.41．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域 （1）xe 2． （2）)1,0(≠>a a a x 且．（3）2sin x． （4）)0()ln(>+a x a ．（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)2cos 1(21sin sin 22x x x 提示：． （6）)1ln()1(x x ++．（7）⎰+xt dt41． （8）⎰x dt tt 0sin ．（9）⎰-xt dt e22．2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(22>+a x a ． （2）x arcsin ．（3）)1ln(2x x ++．3．用级数的展开式，近似计算下列各值（1）e （取前五项）． （2）521⋅（取前三项）．（3）︒18sin （取前两项）．4．计算下列积分的近似值（计算前三项）（1）⎰212dx e x ． （2）⎰10sin dx xx．（3）⎰11.0dx xe x．习题8.51．填空（1）若)(x f 在[]ππ,-上满足收敛定理的条件，则在连续点0x 处它的傅里叶级数与)(0x f .（2）设周期函数)(2)(ππ<≤-=x xx f ，则它的傅里叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =nb ．（3）用周期为π2的函数)(x f 的傅里叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅里叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅里叶系数=0a ，=n a ，=n b .2．把下列周期函数展开成傅里叶级数 （1）⎩⎨⎧<≤<≤-=ππt t t u 0100)(． （2）⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x x f 0,10,1)(．（3）⎩⎨⎧<≤-<≤-+=ππππt t t t t f 0,0,)(． （4）)(2cos)(ππ<≤-=x xx f ．（5）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=21,11112,1)(x x x x x f ． （6）2121,1)(2<≤--=x x x f ．3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x展开成傅氏级数.4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅里叶级数的复数形式，其表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<--≤≤-=221,02121,212,0)(t t e t t f ．复习题八（A ）组1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu收敛．（ ）（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=≠10(n nc cu为常数）也发散．（ ） （3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（ ） （4）若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-+1212)(n n n u u收敛．（ ） （5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满足收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅氏级数收敛于)(x f .（ ）2．用“收敛”或“发散”填空 (1)若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+1)001.0(n nu.(2)级数∞=1n （3）当10<<a 时，级数∑∞=-+111n nn aa . (4)级数∞=1n n （5）级数∞=n3．单项选择题（1）下列级数中，收敛的是（ ）（A ） ∑∞=--11)1(n n n ； （B ） ∑∞=+-1232)1(n n n n； （C ） ∑∞=+115n n ； （D ）∑∞=-+1231n n n ．(2)下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）∑∞=-1)1(n n n ； （B ）∑∞=++12123n n n ； （C ）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n nn ； （D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是（ ）（A ）[]1,1-； （B ）[)1,1-； （C ）(]1,1-； （D ）()1,1-． (4)函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（ ）（A ）∑∞=12!n n n x ； （B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ； （C ）∑∞=1!n n n x ； （D ）∑∞=--11!)1(n nn n x ．(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅氏展开式为（ ）（A ）∑∞=+-11sin )1(2n n nx n ； （B ）∑∞=+-11sin )1(4n n nx n ；（C ）),)12(,(sin )1(411Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π；（D ）),)12(,(sin )1(211Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π．4．判别下列各级数的敛散性（1）)0(1112>+∑∞=a a n ． （2）∑∞=+112tann n n π．（3）∑∞=+112tann n n π． (4)∑∞=1sincos n nn ππ．（5） ∑∞=+112!n n n ． (6) ∑∞=--1ln )1(n n n n .（B ） 组1．用已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数（1）x e x x f -=3)(． （2）x x f 2cos )(2=．（3）211)(x x f -=． （4）321)(2--=x x x f ．2．用已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数 （1）xx f -=41)(． （2）x x f ln )(=．3．将下列周期函数展开成傅里叶级数（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为非整数的常数）．（2）)()(22πππ<≤--=x x x f ．(3) )()(3ππ<≤-=x x x f .4．把周期函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--=20102,2)(x x xx f 展开成傅氏级数.5．将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=24,440,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)210(1)(2≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．第8题图7．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=ππππx x x f 0,40,4)(展开成傅氏级数，并由它导出（1）+-+-=71513114π． （2） ++--+-=131111917151163π．8．将下面波形的函数展开成傅里叶级数9．将下面半波整流后的周期函数)(t f 展开成傅氏级数10．将)10()(2≤≤=x x x f ，展开成正弦级数和余弦级数。