无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为nn n a x∞=∑11(1)n nn na x ∞+=-∑。
2、幂级数的收敛域为 。
0(21)nn n x∞=+∑3、幂级数的收敛半径 。
211(3)2n n nn n ∞-=-+∑R =4、幂级数的收敛域是 。
n ∞=5、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-∑6、级数的和为 。
(ln 3)2nnn ∞=∑7、。
111()2n n n ∞-==∑8、设函数 的傅里叶级数展开式为2()f x x x π=+()x ππ-<<，则其系数的值为。
1(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑3b 9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩0,0,x x ππ-<≤<≤2πx π=敛于。
10、级数的和 。
11(1)(2)n n n n ∞=++∑11、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑参考答案：1、 2、 3、 4、 5、(2,4)-(1,1)-R =[1,1)-(0,4)6、7、8、9、10、11、22ln 3-423π212π14(0,4)二、选择题1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。
0λ>21n n a ∞=∑1(1)nn ∞=-∑（A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛与有关λ2、设，，，则下列命题中正确的是（）。
2n n n a a p +=2n nn a a q -= 1.2n = （A ）若条件收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（B ）若绝对收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（C ）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。
1nn a ∞=∑1nn p ∞=∑1nn q∞=∑（D ）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑3、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是（0,1,2n a n >= 1nn a∞=∑11(1)n n n a ∞-=-∑）。
（A ）收敛，发散. （B ）收敛，发散.211n N a∞-=∑21nn a∞=∑21nn a∞=∑211n n a∞-=∑（C ）收敛.（D ）收敛.2121()n n n aa ∞-=+∑2121()n n n aa ∞-=-∑4、设为常数，则级数是（ ）α21sin()()n n n α∞=∑（A ）绝对收敛.（B ）条件收敛. （C ）发散.（D ）收敛性与取值有关.α5、级数（常数）是（）1(1)(1cos)n n nα∞=--∑0α （A ）发散.（B ）条件收敛.（C ）绝对收敛.（D ）收敛性与有关.α6、设，则级数(1)ln(1)nn u =-+（A ）与都收敛.（B ）与都发散.1nn u∞=∑21nn u∞=∑1nn u∞=∑21nn u∞=∑（C ）收敛而发散. （D ）发散而收敛.1nn u∞=∑20nn u∞=∑1nn u∞=∑21nn u∞=∑7、已知级数，则级数等于（）。
12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑1n n a ∞=∑（A ）3. （B ）7.（C ）8. （D ）9.8、设函数，而2()(01)f x x x =≤≤，1()sin n n S x b n x π∞==∑x -∞<<∞其中，，则等于（ ）。
12()sin n b f x n xdx π=⎰1,2,3n = 1()2S -（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.12-14-14129、设，,()22,x f x x ⎧=⎨-⎩102112x x ≤≤<<01()cos 2n n a S x a n x π∞==+∑x -∞<<+∞其中则等于（ ）。
12()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = 5()2S -（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.1212-3434-10、设级数收敛，则必收敛的级数为1nn μ∞=∑（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.1(1)nnn u n ∞=-∑n ∞=∑21nn u∞=∑2121()n n n uu ∞-=-∑11()n n n u u ∞+=+∑11、已知级数，，则级数等于（）。
11(1)2n n n a ∞-=-=∑2151n n a∞-==∑1nn a∞=∑（A ）3. （B ）7. （C ）8.（D ）9.12、若级数收敛，则级数（）1nn a∞=∑（A ）收敛. （B ）收敛. （C ）收敛.（D ）收敛.1n n a ∞=∑1(1)nn n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞=++∑13、若在处收敛，则此级数在处（）。
(1)nn n a x ∞=-∑1x =2x =（A ）条件收敛.（B ）绝对收敛.（C ）发散. （D ）敛散性不能确定.14、设幂级数与与，则幂级数的收敛半0nn n a x ∞=∑1nn n b x ∞=∑13221nn n na xb ∞=∑径为（ ）（A ）5. （B （C ） （D ）1.31.5参考答案：1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数()f x 0x =0()lim0x f x x→=绝对收敛。
11()n f n∞=∑【分析一】表明时是比高阶的无穷小，若能进一步确定0()lim0x f x x→=0x →()f x x 是的阶或高于阶的无穷小，，从而也是的阶或高于阶的()f x x p p 1p >1()f n 1np p 无穷小，这就证明了绝对收敛。
11()n f n∞=∑【证明一】由及的连续性。
再由在0()lim0x f x x→=()f x ⇒(0)0,(0)0f f '==()f x 邻域有二阶连续导数及洛必达法则0x =2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''⇒=== ⇒20()1lim(0).2x f x f x →''=由函数极限与数列极限的关系⇒21()1lim (0)12x f nf n →+∞''=因收敛收敛，即绝对收敛。
211n n ∞=∑11()n f n ∞=⇒∑11()n f n ∞=∑s2、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？n a 1(1)nn n a ∞=-∑11()1nn n a ∞=+∑【分析与求解】因单调下降有下界极限。
若，由莱{}n a 0⇒∃lim 0n x a a →+∞=≥0a =布尼兹法则，并错级数收敛，与假设矛盾，于是。
1(1)nnn a∞=-∑0a >现在对正项级数可用根值判别法：因为11()1nn n a ∞=+∑，11lim lim 111n n n a a →+∞→+∞==<++所以原级数收敛。
3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
113(2)nn nn x n ∞=+-∑【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求1limlim.3n n ==于是收敛半径，收敛区间为3R =(3,3).-当时是正项级数：3x =131.3(2)n n nn n ∞=⋅+-∑，而发散，311()3(2)n n n n n n ⋅→+∞+-:11n n ∞=∑ 发散，即时原幂级数发散。
⇒1313(2)n n nn n ∞=+-∑:3x =当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
3x =-31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)n n n n n n n n n n n-+---=⋅+-+-(1)213(2)n n n n n n-=-⋅+-因收敛，1213123(2)lim lim 0,()23(2)33n n n n n n n n n n n nnn ∞→+∞→+∞=+-=⋅=+-∑收敛，又收敛收敛，即时1213(2)n n n n n ∞=⇒⋅+-∑1(1)n n n ∞=-∑1313(2)n n n n n∞=⇒+-∑3x =-原幂级数收敛。
4、（1）验证函数满足微分方程3693()1()3!6!9(3)!nx x x x y x x n =++++++-∞<<+∞ ；x y y y e '''++= （2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。
30(3)!nn x n ∞=∑【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令，则(,).-∞+∞3t x =原级数300(3)!(3)!n nn n x t n n ∞∞====∑∑由11(3(1))!lim lim 01(33)(32)(31)(3)!n n n n n n n →+∞→+∞+==+++，从而时原级数收敛。
(,)t ⇒∈-∞+∞(,)x ∈-∞+∞其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：， ， 311()(31)!n n x y x n -∞='=-∑321()(32)!n n x y x n -∞=''=-∑(,).x ∈-∞+∞于是()()()y x y x y x '''++32313110(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====++--∑∑∑级数的线性性质 3231311()(32)!(31)!(3)!n n nn x x x n n n --∞=+++--∑2345601()()2!3!4!5!6!!nn x x x x x xx n ∞==+++++++=∑（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）x e =().x -∞<<∞（2）因为幂级数的和函数满足微分方程30(3)!nn x n ∞=∑()y x①.x y y y e '''++=又知②(0)1,(0)0.y y '==所以为求只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②()y x 该方程相应的齐次方程的特征方程为 210.λλ++=特征根为 相应齐次方程的通解为1,212λ=-±⇒ 1212().x y ec x c x -=+设非齐次方程的一个特解为，代入方程①得xy Ae *=3.x x y y y Ae e '''*+*+*== ⇒1.3A = 非齐次方程①的通解为 ⇒2121(cos).3x x y e c x c x e -=++令，由初始条件② 0x =⇒1121(0)1,311(0)0.23y c y c ⎧=+=⎪⎪⎨⎪'=-++=⎪⎩⇒122,0.3c c ==因此32021()(3)!33xn xn x y x e x e n ∞-===+∑()x -∞<<+∞5、求幂级数的收敛区间与和函数1211(1)(1)(21)n n n x n n ∞-=-+-∑().f x【分析与求解】这是缺项幂级数，令考察，其中2,t x=1nnna t∞=∑11(1)(1).(21)nnan n-=-+-由1⇒ 1.n的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为。