人口预测与控制模型
问题分析：预测中国人口增长对研究中国经济和社会发展具有重要
意义。
根据相关人口统计数据，建立相应的人口发展模型，并预测未来10年内的人口发展
趋势。
要求有明确的模型，并估计出相关的参数。
预测我国2010—2020的人口数量和滁州市2010—2020的人口数量。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
模型准备：查找数据。
为了有效了解、控制我国人口的增长，我国隔几年就进行一次人口普查。
下表一是我国的五次人口普查数据：
我们根据这几次人口普查，建立模型，估计出参数，并估计出2010—2020年的我国人口数量。
滁州市的人口数据（表二）：
根据这几个数据估计2010—2020年的滁州市人口数量。
模型建立：
一、指数增长模型
最简单的人口增长模型就指数增长模型：记今年人口为0x ，k 年后人口为k x ，年增长率为r ，则
k
k r x x )1(0+= (1)
显然，这个公式的基本条件是年增长率r 保持不变。
记时刻t 的人口为)(t x ，)(t x 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将
)(t x 视为连续、可微函数。
记初始时刻)0(=t 的人口为0x 。
假设人口增长率为常数r ，
即单位时间内)(t x 的增量
dt
dx 等于r 乘以)(t x ，于是得到)(t x 满足微分方程rx dt dx =，
0)0(x x = (2)
与这个方程很容易解出
)(t x o x =e rt (3)
r >0时，(3)式表示人口将按指数规律随时间增长，称之为指数增长模型。
二、阻滞增长模型
所谓阻滞增长模型就是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用，并
且随着人口的增加，阻滞作用越来越大这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将
r 表示为x 的函数()x r ，()00x x =
对()x r 的一个最简单的假定是，设()x r 为x 的线性函数，即
()()0,>-=s r sx r x r
这里r 称固有增长率，表示人口很少时(理论上是0=x )的增长率。
为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x 时人口不再增长，即增长率
()0=m x r ，代入(5)式得m
x r s =
，于是()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=m x x r x r 1，将()x r 代入方程(4)，的⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=m x x rx dt dx 1，()00x x = 方程(6)右端的因子rx 体现人口自身的增长趋势，因子⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
m
x x
1则体现了环境资源对人口增长的阻滞作用。
显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共
同作用的结果，(6)式称为阻滞增长模型。
求解方程(6)得到：rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
（4）
三、模型的参数估计、检验和预报
用指数增长模型或阻滞增长模型进行人口预报，先要作参数估计。
除了初始人口0
x 外，指数增长模型要估计r ，阻滞增长模型要估计r 和m x 。
他们可以用人口统计数据拟合得到。
为了估计指数增长模型（2）或（3）中的参数
r
和0x ，将（3）式取对数，得
0ln ,ln ,x a x y a rt y ==+= （5）
现在用表二中我国人口数据对（8）式作数据拟合：
t 195319641982199020002010x 5.747.2310.3211.612.9513.71y=lnx
1.747459 1.978239
2.3340842.4510052.5610962.618125
解出0158.0=r
，0212.29-=a ，0212.290-=e x 。
下面是实际值与理论值的对照：
t=2020时，x=18.07989. 可以看出数据拟合的误差比较大。
为了估计阻滞增长模型中的参数r 和m x ，将方程改为m
x r
s sx r x dt dx
=-=,
左端可以从实际人口数据用数值微分算出，右端对参数s r ,是线性的。
x=r/s=14.974。
解出s = 0.0028575，r= 0.042788，
m
根据滁州市人口数据对模型的参数进行估计：
t195919741984199520002010
x250.9306330.6403.6400.1393.8
y 5.525054 5.7235855.800909 6.000424 5.9917155.975843
r=0.009762,a=-13.5603.
t=2020时，x=472.9265.
根据其对照可以看出误差较大。
下面是对第二个模型进行估计：
s=1.65552E-05,r=0.006736,xm=406.876.
t=2020,x=
总结：在这个预测人口数量时，没有考虑人口的老龄化、出生率、死亡率等因素。
这篇论文利用两个明确的模型，一个是指数增长模型，另一个是阻滞增长模型。
人口的增长不可能是无限制增长的，指数模型只能对短时间的人口进行预测。
Logistic模型能够大体上反映人口的增长趋势。
这两个模型都是针对人口总数的总的增长率，没有涉及到年龄的结构。
对人口的控制，我国采取了计划生育政策，减少人口的增长，促进社会更好的发展。
正是由于这项政策，我国的人口已经得到了很好的控制。
参考文献：数学建模（第四版）姜启源。