率半径为该点的“第一曲率半径”
R1 ? MK1 R2 ? MK 2
3
? ? R1 ?
1? y?2 y??
2
第二曲率半径R2
通过经线上一点 M 的法线作垂直于经线的平面与中 间面相割形成的曲线 MEF ，此曲线在 M 点处的曲率 半径称为该点的第二曲率半径 R2 ，第二曲率半径的 中心落在回转轴上，其长度等于法线段 MK2 。 10
回转曲面
由平面直线或平面曲线绕其同平面内 的回转轴回转一周所形成的曲面。
回转壳体 由回转曲面作中间面形成的壳体。
5
轴对称问题
几何形状
化工用压力容器通常都 属于轴对称问题
所受外力 约束条件
均对称于回转轴
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体
6
母线
图3-3 回转壳体的几何特性
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。
第三章 内压薄壁容器的应力分析
教学重点：
薄膜理论及其应用
教学难点：
对容器的基本感性认识
1
第一节 回转壳体的应力分析 —薄膜应力理论
薄壁容器
? D i ? 0 .1 或 K ? D 0 D i ? 1 .2
容器的厚度与其最大截面圆的内径之 比小于0.1 的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器）
??
①环向应力或周向应力，
用方向?为? 垂表直示于，纵单向位截M面P；a，
②轴向应力或经向应力，
用 ? m表示，单位MPa，方
向为垂直于横向截面；
?m
③由于厚度δ 很小，认为 并把它们称为薄膜应力。
?
、m
?
都是沿壁厚均匀分布的，
?
4
二、基本概念与基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念
中间面
平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间 面。中间面与壳体内外表面等距离， 它代表了壳体的几何特性。
应力分析是强度设计中首先要解决的问题
2
一、薄膜容器及其应力特点
1. 内压薄壁容器的结构与受力： 2. 内压薄壁容器的变形： 3. 内压薄壁容器的内力 ：
结论
在任何一个压力容器中，总 存在着两类不同性质的应力
无力矩 理论求解
有力矩 理论求解
?m ??
薄膜应力
边缘应力
图3-1内压薄膜容器
3
图3-2内压薄膜圆筒壁内的两向应力
用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径
D 处有垂直于经线的法向圆锥面截开，取下部作脱离体，
建立静力平衡方程式。
思考：为什么不能用横截面？
16
2、回转壳体的经向应力分析
⒈Z轴上的合力为Pz
Pz
?
ห้องสมุดไป่ตู้
?
4
D2 p
⒉作用在截面上应力的合力 在Z轴上的投影为Nz
图3-5 回转壳体上的径向应力分析
N z ? ? m ?D ? sin ?
如图所示的回转壳体即
由平面曲线 AB绕OA轴
旋转一周形成，平面曲
线AB为该回转体的母
线。
注意：母线形状不同或 与回转轴的相对位置不 同时，所形成的回转壳 体形状不同。
7
经线
通过回转轴的平面与中间
面的交线，如AB'、AB'' 。
经线与母线形状完全相同
法线
过中间面上的点M且垂直 于中间面的直线n称为中
曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段 , 其长为 ? s , 对应切线
转角为 ?? , 定义
弧段 ? s上的平均曲率
K ? ??
?s
点 M 处的曲率
K ? lim ? ? ? d?
? s? 0 ? s
ds
M?
M ?s ??
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 11
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
?
y?? 1 ? y?2
dx
又 ds ? 1 ? y?2 dx
故曲率计算公式为
y?? K ? ( 1 ? y?2 )32
K ? d?
ds
13
曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(? , ? )
M 处作曲线的切线和法线 , 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
?
T
C
M (x, y)
⒊在Z 方向的平衡方程
?
4
D2p ??
m?D?
sin ?
?
0
D
R2 ? 2 sin ?
D ? 2 R2 sin ?
Pz ? Nz ? 0
?m
?
pR2
2?
17
四、环向应力计算公式 ——微体平衡方程式
?m ? ?? ? p R1 R 2 ?
? m ——经向应力,MPa ? ?——环向应力，MPa p —— 工作压力.MPa R1 —— 第一曲率半径，mm
解: 如图所示 ,
? s ? R? ?
? K ? lim ? ? ? 1
? s? 0 ? s R
M?
??
?? ?s
R
M
12
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y ? f (x) 二阶可导, 则由
tan? ? y? (设 ? ? ? ? ? ? )
2
2
得 ? ? arctan y?
d?
?
(arctan
y?)?dx
R2 —— 第二曲率半径,mm ? —— 壁厚，mm
1、截取微元体
截面1 壳体的内外表面
截面2 截面3
两个相邻的，通过壳 体轴线的 经线平面
两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面
图3-6 确定环向应力微元体的取法
18
微元体abcd 的受力
上下面：? m 内表面： p
环向截面：? ?
微元体受力放大图
图3-7 微小单元体的应力及几何参数
间面在该点的法线。 （法线的延长线必与回转 轴相交）
8
纬线
以法线 NK 为母线绕回转 轴OA 回转一周所形成的 园锥法截面与中间面的 交线 CND 圆
平行圆：垂直于回转轴 的平面与中间面的交线 称平行圆。显然，平行 圆即纬线。
K
图3-3 回转壳体的几何特性
9
第一曲率半径R1
中间面上任一点 M 处经线的曲
DM ? ? ? 1
o
x
K
把以 D 为中心, ? 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 , ? 叫做曲率半径 , D 叫做曲率中心.
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2、无力矩理论基本假设
假定材料具有连续性、均匀性和 各向同性，即壳体是完全弹性的
小位移假设
壳体受力后，壳体中各点的位移远 小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替 变形后尺寸
直法线假设
壳体在变形前垂直于中间面的直线 段，在变形后仍保持为直线段，并 且垂直于变形后的中间面。
不挤压假设
壳体各层纤维变形前后均互不挤压
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三、经向应力计算公式 ——区域平衡方程式
?m ?
pR2
2?
1、截面法
?
——
m
经向应力，MPa
p ——工作压力，MPa
R2 ——第二曲率半径，mm
? ——壁厚，mm
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2、回转壳体的经向环向应力分析
图3-8 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn
Pn ? pdl1 ?dl2