第六章 散射1．粒子受到势能为2)(r ar U =的场的散射，求S 分波的微分散射截面。

[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。

注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。

因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：0))1()((12222=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛l lR r l l r V k drdR r dr d r其中l R 是波函数的径向部分，而E k r U r V 2222),(2)(ηημμ==令r r x R l l )(=，不难把矢径波动方程化为02)1(2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+''l l x r r l l k x ημα再作变换 )(r f r x l =，得0)(221)(1)(2222=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'+''r f r e k r f r r f ημα这是一个贝塞尔方程，它的解是)()()(kr BN kr AJ r f p p +=其中222221ημα+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l p 注意到)(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数∞→=rN R p l ，不符合波函数的标准条件。

所以必须有0=B故)(1kr J r AR p l =现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求得相角位移l δ，由于：)2sin(1)42sin(1)(l lkr r p kr r r R δπππ+-=+-→∞→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=∴21221224222l d l l p l ημππππδ当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-=2122l l ημαπδ又因l i i e l δδ212=- 故 ∑∞=-+=02)(cos )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπη∑∞=-=02)(cos l l P k θπμαη注意到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222112)(cos 1)(cos 1cos 211l l l l l lr r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθρ如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有∑∞===-02sin21)(cos )cos 1(21l l P θθθ故2sin21)(2θπμαθηk f -=微分散射截面为θθαμπθθαμπθθd Ed k d f 2csc 82sin41)(2222242222ηη==由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。

2．慢速粒子受到势能为⎩⎨⎧><=a r a r U r U 当当,0,)(0的场的散射，若0,00><U U E ，求散射截面。

[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。

在a r >处，方程为2210l l l(l )x k x r +⎡⎤''+-=⎢⎥⎣⎦其中222ηE k μ=在a r <处，则有2210l l l(l )x k x r +⎡⎤'''-+=⎢⎥⎣⎦其中202)(2ηE U k -='μ 而波函数是r x R l l =在a >>λ的情况下，只故虑S 分波，即0=l 的情况，上面两个方程变为0020=+''>x k x ar0020=-''<x k x ar其解分别为当a r >时， )sin(00δ+=kr B x 当a r <时，0x Ashk r A c hk r '''=+由于在0→r 时，r x R 00=有限，但1cos 0−−→−'→r r k 当η故 0='A 即)(0a r rk Ash x <'=在a r =处，波函数0R 及其微商必须连续，因此得出)sin(0δ+='ka B a k Ash)sin()cot(0202δδ+-+='-''ka a Bka k a B a k sh a A a k ch k a A用前式除后式可得)cot(coth 0δ+=''ka k a k k即)(0δ+'='ka tg k k a k tg ηka a k tg k k tg -⎪⎭⎫⎝⎛''=∴-η10δ因此S 分波的辐射截面是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-ka a k tg k k tg k k Q η1220220sin 4sin 4πδπ当速度较小时，0→k ，可以近似地认为2002ηU k k μ=='这时有0tghka tghk a =000ktghk a ka k δ∴=-20022020144⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a k a k tg a k Q ηπδπ假如∞→0U ，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于121)(100022020200−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→k a k a k tg a k a k tg a k a k tg 当ηηη204Q a π∴=3．只考虑S 分波，求慢速粒子受到势能4)(r r U α=的场散射时的散射截面。

[解] 当只考虑0=l ，即S 分波时，令r R α=，则x 满足的方程是：0242=-''r xx ημα为了解此方程，作如下代换，令)()(r f r r x =，由于)(121)(r f r r f r x +'='23)(41)()(-⋅-'+''=''r r f r r f r f r x可将原方程化为0411223272=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-'+''r r d f r f f r ημ即04112242=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+''r r d f r f f ημ为了化简方程，再作变换，令ξμα12ηi r =注意到22212ξμαξμαξξξηηd df i r i d df dr d d df dr df =-==drd d df i d f d i dr d d df i d d dr f d ξξμαξξμαξξμαξξ222222222ηηη+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μαξξξμαξηηi d df i d f d方程可以化为04111222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++ξξξξd df d f d这是21阶的贝塞尔方程，它的解是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r i H r f 12)()1(21ημα式中)1(H表示第一类汉克尔函数，按定义为[])()(sin )()1(ξξπξπp p ip p J J ep iH ---=当1<<ξ时，)1(2)(+=p J p pP Γξξ当0,→∞→ξr 时⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−--∞→2122322sin )(21212121)1(21ΓξΓξπξi i H r 当 而πΓΓπΓ21212123,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴r x i H r r f r x ημ2)()1(21当r 很大时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241222ηημαμαr x 常数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==r c C r r r x R 21412412212)(常数常数ηημαμα另一方面r kr r kr C kr kr C R )sin()0cos()0sin(021δ-=-+-=常数当1<<kr 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+≅r C C R 21常数 其中412241212,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ηημαμαC C01202δμαδ===∴k k C C tg η散射截面222208424k k Q ηηπμαπμαπδ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==上述解的条件是,1<<kr 即112<<=r i ημαξ亦即要求 k r 12<<<<ημα4．用玻恩近似法求粒子在势能220)(r eU r U α-=场中散射时的散射截面。

[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式2)()(θθf q = 而⎰∞--=0222sin 2)(drkre r K f rαμθη [见教材（55-23）式]其中2sin 4222θk K =，θ为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。

在本题中220)(re U r U α-=⎰∞--=∴02022sin 2)(drKre r K U f r αμθη⎰∞--+--=02)(2222dre e r K U iiKrr iKrr ααμη⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2422422222222222drree K U i dr ree K U i iK r K iK r K ααααααμμηη注意到⎰⎰⎰∞∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0222222222222222dreiK dr e iK r dr reiK r iK r iK r αααααααα⎰∞-+=+=03224212222απααπααiK iK dx xe x又⎰⎰⎰∞∞∞⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-0002222222222222222dr eiK dr e iK r dr reiK r iK r iK r αααααααα32421απαiK +-=2222432034222)(αααπμαπμθK K e U iK e K U i f ---=⋅=∴ηη而2sin 4222θK K =2226420224)()(ααπμθθK eU f q -==∴η5．利用玻恩近似法求粒子在势能20s Ze r,r a U(r )r b,r a ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩场中散射的微分散射截面，式中22sa b Ze =[解] 由势能)(r U 的形状容易看出，计算)(θf 时只需计算由a →0的积分即可。