精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。
为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。
他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。
但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。
这使他更加困苦不堪。
有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。
” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。
” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。
”说完，就不见了。
这病人跳进了水池，泡在水中。
等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。
他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。
这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。
于是他就此发誓，要戒除一切恶习。
他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。
大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。
把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。
二、知识点回顾：1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个n a零的n 次方根是零 当n 是偶数时，正数的n 次方根有 ，这两个数互为±na(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使na 有意义)． 2. 幂的有关概念①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)；②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1图象DSE 金牌化学专题系列3．指数函数的图象与性质4．对数的概念 (1)对数的定义如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数对数形式 特点记法 常用对数 底数为 lgx 自然对数底数为lnx5．对数的性质、换底公式与运算法则性质①loga1＝ ，②logaa ＝ ， ③ ＝ 。
换底公式logab ＝ (a ，b ，c 均大于零且不等于1)运算法则如果a>0，且a ≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M ·N)＝ ， ②loga ＝ ， ③logaMn ＝nlogaM(n ∈R).定义域 R 值域(0，＋∞)y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1性 质(1)过定点 (2)当x ＞0时， ；x ＜0时，(2)当x ＞0时， ；x ＜0时，(3)在R 上是 (3)在R 上是6.对数函数的定义、图象与性质定义函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数图象a>1 0<a<1性质(1)定义域：(2)值域：(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(4)当0<x<1时，；当x>1时，(4)当0<x<1时，当x>1时，y∈y∈；(5)在(0，＋∞)上为(5)在(0，＋∞)上为7．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．三、专题训练：计算下列各式(1)133()2-×(－76)0＋148×42＋(32×3)6－232()3-；(2)a35b2·35b34a3；考点一有理指数幂的化简与求值(3)413322333824a a b a ab b-++÷(1－2 3b a)×3a.[自主解答](1)原式＝133()2-×1＋342-×142＋(132×123)6－133()2-＝2＋4×27＝110. (2) a 35b 2·35b 34a 3＝33212a-·321510b-＝54a＝a 4a.(3)令13a＝m ，13b＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷(1－2nm )·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a.变式训练：计算下列各式(1)138()125-－(－78)0＋[(－2)3]43-＋1643-＋|－1100|12；(2)9332aa-÷3a－73a 13；(3)(－338)23-＋(1500)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋110＝52－1＋116＋18＋110＝14380. (2)原式＝936671366a aa a--＝973136666a+--＝a 0＝1.(3)(3)原式＝(－1)23-×(338)23-＋(1500)12-－105－2＋1 ＝(278)23-＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？[自主解答] 函数y ＝|3x －1|的图象是 由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折 到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．思考：保持条件不变，讨论函数y ＝|3x －1|的单调性.解：由例2所作图象可知，函数 y ＝|3x －1|在[0，＋∞)上为增函 数，在(－∞，0)上为减函数.变式训练：已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得 y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)x ＋1，x ≥－13x ＋1，x ＜－1.，考点二指数函数的图象其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)―――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x ＜0)―――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)． 如图所示：法二：①由y ＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x<0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x|的图象．②将y ＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．已知函数f(x)＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f(x)＝2431()3x x --+， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3，考点三指数函数的性质由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13)t 在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax 2－4x ＋3，y ＝(13)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a>012a －164a ＝－1，解得a ＝1 即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝(13)h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a 的取值范围是a ＝0. 变式训练：已知g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．解：由g(x)＝－(14)x ＋4(12)x ＋5＝－(12)2x ＋4(12)x ＋5.∴函数的定义域为R ，令t ＝(12)x (t>0)．∴g(t)＝－t 2＋4t ＋5＝－(t －2)2＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t －2)2＋9≤9， 等号成立条件是t ＝2，即g(x)≤9，等号成立条件是(12)x ＝2，即x ＝－1.∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t －2)2＋9(t>0)，而t ＝(12)x 是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由0<t ＝(12)x ≤2，可得x ≥－1，由t ＝(12)x ≥2，可得x ≤－1.∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．【例4】(1)计算：lg5(lg8＋lg1 000)＋(3lg 2)2＋lg 16＋lg0.06；(2)化简：log 34273·log 5[21log 1024－23(33)－27log 7]；(3)已知：lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y)，求32log xy的值． [自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(2)原式＝(log 3427－1)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)log 55＝－14.(3)∵lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y) ∴xy ＝(2x －3y)2＝4x 2＋9y 2－12xy 即4x 2－13xy ＋9y 2＝0考点四 对数式的化简与求值∴(4x －9y)(x －y)＝0，即4x ＝9y ，x ＝y(舍去)， ∴32log x y＝32log94＝2.变式训练：计算：(1)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(2)15(lg32＋log 416＋6lg 12)＋15lg 15. 解：(1)原式＝(log 32＋12log 32)(12log 23＋13log 23)＝(log 32＋log 32)(log 23＋log 233) ＝log 322·log 2(3·33) ＝log 3322·log 2563 ＝32·log 32·56·log 23＝54.(2)原式＝15[lg32＋2＋lg(12)6＋lg 15]＝15[2＋lg(32×164×15)]＝15(2＋lg 110) ＝15[2＋(－1)]＝15.【例5】比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7； (3)已知12log b<12log a< 12log c ，比较2b,2a,2c的大小关系．[自主解答] (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，考点五对数值的大小比较∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.法二：作出y ＝log1.1x 与y ＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知 log1.10.7<log1.20.7.(3)∵y ＝12log x 为减函数，且12log b<12log a<12log c ， ∴b>a>c.而y ＝2x 是增函数， ∴2b >2a >2c .变式训练：设a 、b 、c 均为正数，且2a＝12loga ，(12)b ＝12logb ，(12)c ＝log 2c ，则 ( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c解析：如图：∴a<b<c.【例6】已知f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．[自主解答] ∵f(x)＝log a x ，则y ＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f(13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式训练：(2010·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x ＋1)，将y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域；(2)令F(x)＝f(x －1)－g(x)，求F(x)的最大值．解：(1)f(x)＝log 2(x ＋1)――――――――→向左平移1个单位 y ＝log 2(x ＋2)――――――→纵坐标伸长到原来的2倍y ＝2log 2(x ＋2)，考点六对数函数图象与性质的应用即g(x)＝2log 2(x ＋2)，∴x ＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．(2)∵F(x)＝f(x －1)－g(x)＝log 2x －2log 2(x ＋2) ＝log 2x (x ＋2)2(x>0)＝log 2xx 2＋4x ＋4 ＝log 21x ＋4x＋4≤log 218＝－3， ∴当x ＝2时，F(x)max ＝－3.【例7】(2011·成都模拟)设f(x)＝12log1－axx －1为奇函数，a<0. (1)求a 的值；(2)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f(x)>(12)x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴12log 1＋ax－1－x ＝－12log1－axx －1＝12log x －11－ax ，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x ＋1)(x －1)， ∴a ＝－1或a ＝1(舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝12log x ＋1x －1＝12log (1＋2x －1)， ∵f(x)>(12)x ＋m 恒成立，x ∈[3,4]，∴m<f(x)－(12)x ，x ∈[3,4]．令g(x)＝f(x)－(12)x ＝12log (1＋2x －1)－(12)x ，x ∈[3,4]．考点七 与对数函数有关的综合问题∵函数f(x)＝12log (1＋2x －1)与y ＝－(12)x 在x ∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数，∴g(x)min ＝g(3)＝－98，∴m<－98.思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x 的取值范围．解：由例题知， f(x)＝12log x ＋1x －1又∵f(x)的值域为[1，＋∞) ∴0<x ＋1x －1≤12∴－3≤x<－1.即x 的取值范围为[－3，－1)．变式训练：已知函数y ＝loga2(x2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解：因为μ(x)＝x 2－2ax －3在(－∞，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0<a 2<1，即0<a<1或－1<a<0，且有⎩⎪⎨⎪⎧μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a<0或0<a<1.五、巩固练习：一、选择题1．(2011·济南模拟)定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，1 (x >0).答案：A2．(2010·辽宁高考)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2， 即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A3．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝125-，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝125-＝15＜12，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a ＜b .4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．答案：B5．(2011·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.法二：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，a ＝2x ＋42x ≥4.二、填空题 6．2327－32log 2×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________．解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19.答案：197．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题9．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 10．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：(1)由log a 2＝m ，log a 3＝n 得a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝22×3＝12. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg(xy )，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴(x y )2－6·x y ＋1＝0， ∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，从而xy ＝3＋22， xy ＝1＋ 2.六、拓展训练:1、(2010·安徽高考)设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[规范解答] 构造指数函数y ＝(25)x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25)x (x ∈R)与y ＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25)x ，故253()5＞252()5，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b. 2、(2010·天津高考)设函数f(x)＝212log,0,log (),0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[规范解答] 由题意可得2120log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log a a a >⎧⎪⎨->⎪⎩ 解之得a>1或－1<a<0.七、反思总结：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．(2011·桐乡模拟)函数y ＝ax ＋2012＋2012(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________．解析：令x ＋2012＝0，则x ＝－2012，此时y ＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013)2．若a>0，a ≠1，x>y>0，n ∈N ，则下列各式：①(log a x)n ＝nlog a x ；②(log a x)n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④nlog a x ＝1n log a x ；⑤log a x n ＝log a nx ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中正确的个数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a<b<1<c<dB ．a<b<1<d<cC ．b<a<1<c<dD ．b<a<1<d<c解析：由指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1)的单调性及函数y ＝a x 与y ＝(1a )x 间的关系可知b<a<1<d<c.4．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (x )的对称轴为直线x ＝1， 由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．5．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4.答案：[0,4]6．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 31()2+＝18×2log 31()2＝18×121log 31()2＝18×13＝124. 答案：124。