指数函数和对数函数
知能目标
1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质.
2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质.
3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
综合脉络
1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络
2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据):
0a (N log b N a a b >=⇔=且)1a ≠
指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表:
3. 指数函数,对数函数是高考重点之一
指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解:
例1.设a ＞0, f (x)＝
x x e
a
a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值;
(2) 试判断f (x )的反函数f －
1 (x)的奇偶性与单调性.
例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2
a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在,
说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.
例3. 已知x 满足≤+6x
2a a
4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1
log 2
a 12
a
⋅ 的值域为]0 ,8
1[-, 求a 的值.
(二) 专题测试与练习:
一. 选择题
1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x
x
∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<<
2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( )
A. 2
131
)a 1()a 1(->- B. )a 1(log )a 1(+- C. 23)a 1()a 1(+>- D. 1)
a 1()
a 1(>-+
3. 已知x 1是方程3x lg x =+的一个根, 2x 是方程310x x
=+的一个根, 那么21x x +的值 是 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
4. ,0z log log log y log log log x log log log 324243432===则z y x ++的值为 ( )
A. 50
B. 58
C. 89
D. 111
5. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x
a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( )
6. 若函数)x (f 与=)x (g x
) 2
1 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2
-的单调递增区间是( )
A. ]2 ,2(-
B. ) ,0[∞+
C. )2 ,0[
D. ]0 ,(-∞
二. 填空题
7. 已知522x x =+-, 则=+-x
x 88 .
8. 若函数=y 2x log 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 .
9. 已知=y )ax 3(log a -在]2 ,0[上是x 的减函数, 则a 的取值范围是 .
10.函数=)x (f )1a ,0a (a x
≠>在]2 ,1[上的最大值比最小值大2
a
, 则a 的值为 .
三. 解答题
11. 设 1x 0 <<, 试比较|)x 1(log a -|与|)x 1(log a +|的大小.
12. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f
1
-, )1x 3(log )x (g 4+=.
(1) 若≤-)x (f
1
)x (g ，求x 的取值范围D;
(2) 设函数)x (f 2
1)x (g )x (H 1
--=，当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域.
13. 已知常数1a >, 变数x 、y 有关系3y log x log a log 3x a x =-+. (1)若t
a x =)0t ( ≠, 试以a 、t 表示y ;
(2)若t 在) ,1[∞+内变化时, y 有最小值8, 求此时a 和x 的值各为多少?
14. 已知函数=)x (f ,329x
x ⋅-判断f (x)是否有反函数? 若有, 求出反函数; 若没有, 怎么改变
定义域后就有反函数了?
指数函数和对数函数解答
(一) 典型例题
例1 (1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a
1
0)0(f >=⇒=-⇒
=, (2) =-⇒∈++=--)x (f )R x (2
4
x x ln
)x (f 121
=-=++-24x x ln
2=++24
x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1
-为单调增函数.
(也可用原函数证明)
例2 设x ax )x (u 2
-=, 对称轴a
21x =
. (1) 当1a >时, 1a 0
)2(u 2
a 21>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤;
(2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4
a 21
≤<⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>≥. 综上所述: 1a >
例3 由≤+6x 2a a 4x 2
x a a
+++0)a a )(a a ()1a ,0a (4x 2x ≤--⇒≠> ]4,2[x ∈⇒
由y ＝)ax (log x a 1log 2
a 12a ⋅81
)23x (log 21y 2a -+=⇒
⇒-∈]0,81[y Θ1x log 208
1
)23x (log 2181a 2a -≤≤-⇒≤-+≤-, ,4x 2≤≤Θ
① 当1a >时, 为x log a 单调增函数, 22log a -≥∴且∅⇒-≤14log a
② 当1a 0<<时, 为x log a 单调减函数, 12log a -≤∴且.2
1
a 24log a =⇒-≥
(二) 专题测试与练习
一.
二. 填空题
7. 110 ; 8. ;),2(∞+ 9. ;)23,1( 10. .2
321或
三. 解答题
11. 21x 11x 101x 0<+<⇒<-<⇒<<Θ,
0x 1x )x 1(x 112>-=+--, )x 1(x
11+>-∴ ⇒>+--=+-=+-∴1|)
x 1lg(x 11lg
||)x 1lg()x 1lg(||)x 1(log ||)x 1(log |a a |)x 1(log a -|>|)x 1(log a +|.
12. (1))1x )(1x (log )x (f )1y (log x 1y 212y 21
2x x ->+=∴+=-=∴-=-即Θ
())1x 3(log 2
1
)1x (log )1x 3(log )1x (log )x (g x f 22421+≤+∴+≤+∴≤-Θ ⎪⎩
⎪⎨⎧>+>++≤+∴01x 301x 1x 3)1x (2 }1x 0|x {D 1x 0≤≤=∴≤≤∴
(2) 1x 1x 3log 21)x (H 2++= ]1,0[x ∈, ]2
1
,0[)x (H ]2,1[1x 231x 1x 3 ∈∴∈+-=++Θ
13. (1) .3y log t
1
t t 33y log a log a log 3,a x a a t
a a t
t t =-+⇒
=-+∴=Θ )0t (a y 3t 3t y log 3
t 3t
2a 2
≠=⇒+-=∴+-.
(2) 4
3
)23t (2a
y +
-=),1[2
3
t ∞+∈=
Θ 23
t =∴时, 16a 28a 8y 343
min =⇒==⇒=
.6416x 2
3==
14. )03(1)13(32)3()x (f x
2x x 2x >--=⋅-=
令0x 013x
=⇒=-, 所以当013x
≥-或013x
<-时存在反函数, 即0x ≥或0x <时(或它的子集)存在反函数,
①当0x ≥时, 即013x
≥-⇒1y 13)13(1y x 2x +=
-⇒-=+
∴)1x ( ),1x 1(log )x (f 31-≥++=-
②当0x <时, 即013x
<-⇒1y 13)13(1y x 2x +-=-⇒-=+
∴)1x (, )1x 1(log )x (f 31->+-=-。