2015届本科毕业论文(设计) 论文题目：常微分方程初等解法的研究学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-1班学生姓名：汤鹏指导老师：张新东副教授答辩日期：2015年5月5日新疆师范大学教务处目录引言 (1)1 常微分方程的定义及分类 (2)1.1 定义 (2)1.2 一阶线性微分方程 (2)1.3 一阶线性微分方程组 (2)2 一阶线性微分方程的解法 (4)2.1 分离变量法 (4)2.2 常数变易法 (5)2.3 全微分法 (6)2.4 参数法 (7)3 n阶常系数线性微分方程的解法 (9)3.1 单根的情形 (9)3.2 重根的情形 (10)4 常微分方程的应用 (11)4.1 人口动力学问题 (11)4.2 简谐运动 (11)4.3 电路理论 (12)4.4 MATLAB解常微分方程 (13)5 总结 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法的研究摘要：本文主要对常微分方程的初等解法进行研究，使大家更深一步地了解常微分方程的分类、解法及其在其他领域的应用。

首先总结阐述常微分方程的定义和几种常见的类型，然后讲解了常微分方程的解法及方程组解的情况，最后讲述了常微分方程在以下四个方面的应用：动力学问题、简谐运动、电路理论及用MATLAB解常微分方程。

关键词：常微分方程；初等解法；方程组；动力学；MATLABResearch elementary solution of ordinary differentialequationsAbstract: This paper mainly elementary solution of ordinary differential equation is studied,make you a deeper understanding of classification,the ordinary differential equation solution and its application in other fields.Firstly summarizes the type describes the definition of ordinary differential equations and several common,then explain the ordinary differential equation solution and the solution of equations,and finally describes the application of ordinary differential equations in the following four aspects:dynamics,simple harmonic motion,boundary value problem and the solution of ordinary differential equation with MATLAB.Key words: Ordinary differential equations; The primary solution; Equations; Dynamics; MATLAB引言常微分方程是数学中的一个重要的方程之一。

常微分方程是人类在生活实践中得来的。

据史料记载它的的出现要比微积分还要早。

笛卡尔在光学问题上的研究由切线性质引出的镜面形状、伽利略研究自由落体运动等等[10]。

事实上，这些问题都要建立并求解微分方程。

本文首先给出了常微分方程的相关定义、分类及其解法，想让大家对常微分方程的相关知识进行整理和汇总，在此基础上应用实际应用例子，以体现常微分方程的重要作用。

1 常微分方程的定义及分类1.1 定义一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式[7]。

当未知函数中依赖于一个自变量时，相应的微分方程称为常微分方程[8]。

1.2一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式：)()(x q y x p dx dy+= （1.2.1） 其中()x p 和()x q 是区间b x a <<上的已知函数。

如果()0≡x q ,即y x p dx dy)(= （1.2.2） 则称其为一阶线性齐次方程。

如果0)(≠x q ，则称（1.2.1）式为一阶线性非齐次方程[8]。

1.3一阶线性微分方程组 一阶线性微分方程组:如果在一阶微分方程组中，函数i f ),,2,1)(,,,,(21n i y y y x n ΛΛ=关于n y y y ,,,21Λ 是线性的，一阶微分方程组可以写成：()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy n n nn n n n n n n n ΛM ΛΛ2211222221212112121111（1.3.1）则称（1.3.1）为一阶线性微分方程组。

为了方便记忆，可以把（1.3.1）写成向量的形式。

为此，记()()()()()()()()()⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=x a x a a x a x a x a x a x a x a x A nn n n n n ΛM M M ΛΛ212222111211 及()()()()⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=x f x f x f x F n M 21（1.3.1）可以写成向量形式()()x F Y x A dx dY+= （1.3.2） 如果（1.3.2）上()0≡x F ，方程组（1.3.2）可变成()Y x A dx dY= （1.3.3） 则称（1.3.3）为一阶线性齐次方程组。

2 一阶线性微分方程的解法2.1 分离变量法1)显示变量可分离方程的解法形如()()y x f dxdyϕ=（2.1.1） 的方程，称为显示变量可分离方程。

如果()0≠y ϕ，我们可将（2.1.1）写成()()dx x f y dy=ϕ这样变量就分离开了。

两边积分可得 ()()c dx x f y dy+=⎰⎰ϕ（2.1.2） 则称（2.1.2）是（2.1.1）的通解。

如果存在0y ，使()00=y ϕ，直接代入，可知0y y =也是（2.1.1）的解，可能不在通解中，必须予以补上[9]。

例1 求解方程323a yb a dx dy -=解 分离变量得dx a dy a y b 332=- 积分得()dx a a y b a y b b3323221=-- ()33232232a x a yb a y b b=-- 这曲线就是摆线[3]。

2)微分形式变量可分离方程的解法形如()()()()dy y N x M dx y N x M 2211=（2.1.3）是变量可分离方程的微分形式表达式。

这是，y x 和在方程中的地位是“平等”的。

1）当()001=y N ，则0y y =为方程（2.1.3）的解。

同理()002=x M ，则0x x =也是方程（2.1.3）的解。

2）当()()时021≠x M y N ，分离变量可得：()()()()dx x M x M dy y N y N 2112=对上式两端同时积分得（2.1.3）的通积分()()()()C dx x M x M dy y N y N +=⎰⎰2112例2 求解方程()()01122=-+-dy x y dx y x 解 首先，易见1,1±=±=x y 是方程的解，其次，当()()01122≠--y x 时，分离变量得01122=-+-y ydyx xdx 积分，得方程的通积分C y x ln 1ln 1ln 22=-+- （0≠C ）或()()C y x=--1122（0≠C ）2.2 常数变易法常数变易法主要针对是一阶线性非齐次方程。

即)()(x f y x p dxdy=+ 对于一阶齐次方程0)(=+y x p dx dy的通解是()⎰=-dxx p Ce y 使用常数变易法解决一阶非齐次方程的解，可将常数C 变易成函数()x C ，即令()()⎰=-dx x p e x C y （2.1.4） 为方程（1.2.1）的解，其中()x C 待定。

将（2.1.4）代入（1.2.1）中并积分可以得到()()()C e x f x C dxx p +⎰=⎰将其代入（2.1.4）得（1.2.1）的通积分公式为()()()()dx e x f e Ce y dx x p dx x p dx x p ⎰⎰⎰+⎰=-- 例3 求解方程2x x ydx dy +=解 先求对应齐次方程x y dx dy = 的通解是Cx y = 由常数变易法得，令()x x C y = 为原方程的解，并代入原方程有()()()2'x x C x C x x C +=+ 整理并积分得 ()C x x C +=221 代入原方程的通解为321x Cx y +=2.3全微分法如果微分形式的一阶方程()()0,,=+dy y x N dx y x M （2.3.1） 的左端恰好是一个二元函数()y x U ,的全微分，即()()()dy y x N dx y x M y x dU ,,,+= （2.3.2） 则称（2.3.1）是全微分方程[1]。

下面将以例题的形式介绍全微分法例4 求解方程 ()()046633222=+++dy y y x dx xy x解 因为xNxy y M ∂∂==∂∂12 所以原方程是全微分方程。

为了计算方便我们取0,000==y x 故方程的通积分为()⎰⎰=++yx C dy y dx xy x3022463即C y y x x =++422332.4参数法参数法主要针对的是一阶隐式微分方程()0,,'=y y x F（1）如果能解出'y ，就得到一个或者几个显示微分方程，能用初等积分很容易解出方程的通解。

（2）如果不能解出'y ，这就要用到参数法。

本文主要介绍一类可积分类型。

即，()0,'=y x F ()()0,'=y y F （1）首先讨论()0,'=y x F （2.4.1） 1）把方程（2.4.1）化成参数形式。

即，()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ't 为参数 （2.4.2） 2）对于（2.4.2）和沿着（2.4.1）的任何一条积分曲线恒满足基本关系式dx y dy '= 这样，把（2.4.2）代入上式并积分得()()C dt t t y +=⎰'ϕψ于是得到方程（2.4.1）的参数通解()()()⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰C dt t t y t x 'ϕψϕ 同理，可以讨论()0,'=y y F （2.4.3）设其可以表示的参数形式()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ'，由于dy y dx '1=，将其代入参数方程组中积分得 ()()C dt t t x +=⎰ψϕ' 从而（2.4.3）的参数形式通解为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰t y C dt t t x ϕψϕ' 例5 求解方程 ()'2'1y y x =+解 令()t y tan '=，有()t x sin =，原方程的参数形式为⎩⎨⎧==t y tx tan sin 由基本关系dx y dy '=有tdt dy sin =，积分可的C t y +-=cos 。