X
40 求解
50 变量还原
例6
求微分方程
dy x y 1 dx x y3
的通解.
2,
令Xx1,Yy2代入方程得
ln y 10 y
xc1
例2
求微分方程
x dy dx
3
y2
的通解.
解:
分离变量后得
3
y 2dy
1
dx
1
x
两边积分得: 2y 2 lnxc1
整理后得通解为:
y
(ln
x
4
c1)2
(ln
4 cx
)2
,
此外还y有 0解 ,这个解未包含,在 应通 补.解 上
例3 求微分方程
dy p(x)y dx
的通,解 其中 p(x)是x的连续函 . 数
再求初值问题的通解, 以 y(0)1代入,通 得 c解 1
所以所求的特解为:
y 1 1 . sin x1 1sin x
二、可化为变量分离方程类型
（I）齐次方程 (II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
x[l nx)(c]2, lnx()c0
y
,
0, lnx()c0
例5 求下面初值问题的解
(yx2y2)d xxd , y y (1 )0
解: 不妨设x>0,方程变形为
dy y 1(y)2
dx x
x
这是齐次方程, 令u y 代入方程得 x
xdu 1u2 dx
将变量分离后得
du dx 1u2 x
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量 (引代 入换 新 )uy变 ,方量 程化
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
d (y)yf(x)d xc (2.2)
1 的某一原函hf(数 (yx))的某一原函F数(x)
(y)
由 (2 .2 )所确定 h(y)F 的 (x)c 函 就 (2 .数 为 1 )的.通
定义1 形如
dyf(x)(y)
dx
dy F(x, y) dx
(2.1)
方程,称为变量分离方程.
这f里 (x) , (y)分别 x,y是 的连续 . 函数
f(a2xb2y)
令ua2xb2y,则方程化为
du dx
a2
b2
dy dx
a2b2f(u)
这就是变量分离方程
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xxbb12yycc1200,
代x表 平 y 面两条,解 相以 交上 的方 直( 程 线 ,) 组 (0,0)得
作变量代换(坐标变换)
X x Y y ,
则方程化为 dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
解: 将变量分离后得 dy p(x)dx y
两边积分得: lny p(x)d xc1
由对数的定义有
y ep(x)dxc1
y ep(x)dxc1
即
yec1ep(x)dx ce . p(x)dx
此外 y0也是方程 ,若的 在解 上式c中 0, 充 即知 y0也包括在, 上式中
故方程的通解为
ycep(x)dx, c为任常. 数
例：
分离变量:
dyx2 y2 1
dx
dy y2 1
x2dx
两边积分: y2 dy1 x2dxC
arc tayn1x3 C 3
注: 若存 y0,使 在 (y0)0,则 yy0也(是 2.1)的,解 可能
它不包含 (2.2在 )的方 通程 ,解 必中 须予.以补
例1 求微分方程 dy y(1 y ) 的所有解.
dx
10
解: 方程两边y(1同 y除 )再 , 以积分 10
dy
y(1 y ) dxc1 10
积分得:
y
ln 10 y
xc1
从上式中y,解 再出 将常数c,记 得为
y
10 1cex
,
c0.
由 y(1y)0,求y出 0和 y1,0
10
故方程的所有解为:
y11c0ex ,c为任意常,和数 y 0.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程.
分三种情况讨论
1
c1cd2y0的 a1x情 b1y形 a1 b1 dx a2xb2y a2 b2
y
x y
x
g( y) x
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
2 a1 a2 0的情形 b1 b2
设a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
dy a1xb1yc1 k(a2xb2y)c1 dx a2xb2yc2 a2xb2yc2
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
dx
将变量分离后得
du dx 2u x
两边积分得:
uln(x)c
du dx 2u x
即 u(ln x()c)2, lnx ()c0,c为任意常
代入原来变量,得原方程的通解为
两边积分得: lnu 1u2 lnxlnc
du dx 1u2 x
整理后得 u 1u2 cx
变量还原得 y 1( y)2 cx
x
x
最后由初y(始 1)0条 ,可件 定c出 1.
故初值问题的解为 y 1(x2 1) 2
(II) 形如
dy a1xb1yc1 , dx a2xb2yc2
这a里 1,b1,c1,a2,b2,c2为常 . 数
例4
求初值问 dd题 yxy2coxs的特.解
y(0)1
解: 先求方 dy程 y2coxs的通，解
dx
当y0时,将变量分 ,得离dyy2 cosxdx
两边积分得: 1 sinxc,
y
因而通解为:
y 1 , sinxc
其中c为任意常数.
此外 y0也是方程 ,且的 不解 能在通解 的c中 得取 到 . 适当
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
先看例子：
dyx2 y2 1
dx
dy dx
yex y
yeyex
一、变量分离方程的求解
dyf(x)(y)
dx
(2.1)
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得