du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
得解
x y
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g(Y ) X
30 再经变换u Y , 将以上方程化为变量分离方程
X
40 求解
50 变量还原
例7
求微分方程
dy x y 1 dx x y 3
例如：
dy y tan y
dx x
x
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u) u , (这里由于dy x du u)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
即
dc(x) ex dx
积分得
~
c(x) ex c
~
~
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
x)e
p
(
x
) dx
dx
~
c)
e
3 x
dx
(
(4x2
1)e
3 dx
x dx
~
c)
x3(
(4x2
1)
1 x3
dx
~
c)
x3(4 ln
x
1 2x2
~
c)
x3 (
(4x2 1)
1
~
dx c)
x3
x3
ln
x4
x
~
c
x3
2
将初始条件 y(1) 1代入后得
~
c
3
2
故所给初值问题的通解为
y x3 ln x4 3 x3 x 22
y
yi ,
i 1,2,, k
例：
分离变量:
dy x2 y2 1
dx
dy y2 1
x 2 dx
两边积分:
dy
y2 1
x2dx C
arctan y 1 x3 C 3
注: 若存在y0,使( y0 ) 0,则y y0也是(2.1)的解,可能
它不包含在方程(2.2)的通解中,必须予以补上.
一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法
10 解对应的齐次方程 dy p(x) y (2)
dx 得对应齐次方程解
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解 dy P(x) y Q(x) (1) dx
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
用G(y)，F(x)分别表示 1 及f (x) ( y)
的某一个原函数
(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C
d变y 量f (分x) 离(方y) 法解法步骤
dx
如果存在 yi ，使得 ( yi ) 0, i 1,2,, k
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F (x) C
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 u u 即 x du 2 u
dx
dx
将变量分离后得
du dx 2u x
两边积分得:
u ln(x) c
du dx 2u x
即 u (ln(x) c)2, ln(x) c 0, c为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
a(x) dy b(x) y c(x) 0 dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1) dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数
若Q(x) 0,则(1)变为 dy P(x) y (2) dx
(2)称为一阶齐次线性方程
若Q(x) 0,则(1)称为一阶非齐线性方程
dy a1x b1 y c1 k(a2 x b2 y) c1 dx a2 x b2 y c2 a2 x b2 y c2
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
3
a1 b1
a2 b2
的通解.
解:
解方程组
x y 1 0 x y 3 0
得x 1, y 2,
令X x 1,Y y 2代入方程得
dY X Y
1 Y X
dX X Y 1 Y
令u Y ,得 X du 1 u2
X
X
dX 1 u
将变量分离后得
(1 u)du dX
1 u2
X
两边积分得: arctanu 1 ln(1 u2 ) ln X c 2
例8 求微分方程
( y xy2 )dx (x x2 y)dy 0
的通解.
一阶线性微分方程
形如 y P(x) y Q(x) P(x),Q(x) 为 x 的已知函数
的方程称为一阶线性微分方程。
Q(x) 0 y P(x) y 称为齐次线性方程;
Q(x) 0 称为非齐次线性方程。
一阶线性微分方程
3 2
x1在x
0无意义,
故此解只在x 0或x 0之一中有意义.
此外还有解 y 0,这个解未包含在通解中 ,应补上.
例3 求微分方程
dy p(x) y dx
的通解, 其中p( x)是x的连续函数 .
解: 将变量分离后得 dy p(x)dx y
两边积分得: ln y p(x)dx c1
故方程的所有解为:
y
10 1 cex
, c为任常数,
和y
0.
ln y 10 y
x c1
例2
求微分方程
x
dy
3
y2
的通解.
dx
解:
分离变量后得
3
y 2dy
1
dx
1 x
两边积分得: 2y 2 ln x c1
整理后得通解为:
y
4பைடு நூலகம்
4,
(ln x c1)2 (ln cx )2
其中c
ec1
,由于函数y
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
X x 作变量代换(坐标变换) Y y ,
则方程化为 dY a1X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
故其通解为
x e p( y)dy (
Q(
y
)e
p
(
y
) dy
dy
~
c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
~
c)
~
y2 ( ln y c), c为任意常数 。
练习：求值问题 dy 3 y 4x2 1, dx x
的解.
y(1) 1
解: 先求原方程的通解
y e p(x)dx (
Q(
以y(0) 1代入通解,得c 1
所以所求的特解为:
y
1 sin x 1
1. 1 sin x
变举量例分离方法
例1 求解方程 dy x dx y
练习： dy y dx x
可化为变量可分化离为方变法量分离的类型