【全国百强校】河北省张家口市第一中学【最新】高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（）
A． B． C． D．
2．体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
A． 或 B． 或
C． D．
二、填空题
13．已知三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，且 ，则此三棱锥的外接球的体积为____________
14．若曲线 与直线 始终有交点，则 的取值范围是_______．
15．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2，则 的值是_____
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
【详解】
选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；
选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．已知圆的方程为 ，过点 的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）
A． B．1C．2D．4
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
16．已知实数 满足 ，则 的取值范围为________.
三、解答题
17．已知直线 与直线 的交点为M.
(1)求过点M且到点 的距离为2的直线的方程；
(2)求过点M且与直线 平行的直线的方程.
18．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形 点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
求证： ；
若 ，且平面 平面ABCD，求证： 平面PCD．
A． B． C． D．
6．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积
A． B．1C． D．
7．若直线 被圆 截得弦长为4，则 的最小值是（）
A．9B．4C． D．
8．已知圆 ，直线l： ，若圆 上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为
A． B． C． D．
则cosθ＝ ＝ ＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为 ．
故选D．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.
6．A
【分析】
由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．
【详解】
解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
19．已知圆 .
（1）此方程表示圆，求 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线 相交于 . 两点，且 ( 为坐标原点)，求 的值；
20．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
所以OB ，对应原图形平行四边形的高为：2 ，
所以原图形的面积为：1×2 2 ．
故选A．
【点睛】
本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．
7．A
【分析】
圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得 的最小值．
9．已知直线 ，若 ，则 的值为（）
A．8B．2C． D．-2
10．当点 在圆 上变动时，它与定点 的连结线段 的中点的轨迹方程是（）
A． B．
C． D．
11．直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知点 ， ，直线 方程为 ，且直线 与线段 相交，求直线 的斜率 的取值范围为（）
选项D正确，由 ， 便得 ，又 ， ，即 .
故选：D.
【点睛】
本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，
属于基础题.
4．C
【解析】
试题分析： ，最短的弦长为 ，选C.
考点：直线与圆位置关系
5．D
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
21．已知关于 的方程 ．
（1）若方程 表示圆，求 的取值范围；
（2）若圆 与圆 外切，求 的值；
（3）若圆 与直线 相交于 两点，且 ，求 的值．
22．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形， ， ，且 ，A为BE的中点 将 沿AD折到 位置 如图 ，连结PC，PB构成一个四棱锥 ．
（Ⅰ）求证 ；
（Ⅱ）若 平面 ．
2．A
【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为 ，所以正方体的外接球的半径为 ，所以该球的表面积为 ，故选A.
【考点】正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为 的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为 、 和 .
3．D
【分析】
①求二面角 的大小；
②在棱PC上存在点M，满足 ，使得直线AM与平面PBC所成的角为 ，求 的值．
参考答案
1．Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【分析】
设直线的倾斜角为 ，则 ，解方程即可.
【详解】
由已知，设直线的倾斜角为 ，则 ，又 ，
所以 .
故选：B
【点睛】
本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（﹣2，1，2）， ＝（﹣2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
【详解】
圆标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴ ， ，
又 ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立．
∴ 的最小值是9．