精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
20、 f 2 (x) ( 1 sin x 1 sin x)2 2 2 | cos x | ，值域为 [ 2 ， 2] ；
f (x ) 1 sin x 1 sin x f (x) 函数的最小正周期为
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2018 南模高一数学期中考试卷
一、填空题（每题 3 分，共计 36 分）
1．已知角 的终边在射线 y 4 x(x 0) 上， sin cos
；
3
2．一扇形的中心角为 弧度，中心角所对的弦长为 2cm ，则此扇形的面积为
（1）试探究图中 B ， D 间距离与另外哪两点间距离相等； （2）求 B ， D 的距离（计算结果精确到 0.01km) ；
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20．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择
2
2
2
2
4
最小正周期 T 2 ，单调递增区间为：[k ， k 5 ] ， k Z ；
42
2 16 2 16
（2） 4x [ , 5 ]， sin(4x ) [ 2 ，1] ， f (x) 2 sin(4x ) [ 2 ， 1 ] ，
4 44
4
2
2
4
22
可得当 x 时， f (x) 最大值为 1 ，当 x 时，取得最小值为 2 ．
13． ABC 中，内角 A, B,C 所对的边长分别是 a,b,c ，若 c acos B (2a b)cos A， ABC 为 ( )
A．等腰三角形 C．等腰直角三角形
B．直角三角形 D．等腰或直角三角形
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对称性 作图
f (x) f (x)
偶函数
1分
f (x ) f (x)
周期T
2分
f
(x)
2 cos 2 sin
x 2 x 2
x [0 , ] 2
x[ , ] 2
在[k , k ] 上递增，
2
在[k , k ] 上递减 (k Z)
2分
2
f (x)
f
(x)
，
f
(
x)
f
(
x) ，
x)
log
1 2
cos(
1 3
x
4
)
的单调递增区间为
．
10．要得到函数 y cos( x ) 的图象，只需将 y sin x 的图像
．
24
2
11．若 f (x) 3| cos x | cos x m ，x (0,2 ) ，有两个互异零点，则实数 m 的取值范围是
．
12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面
2
2
f
(x)
f
(x) 且
f
(
x)
f
(
x) ，
2
2
f (x) 在其定义域上为偶函数，结合周期为 得到图象关于直线 x k 对称
2
因此，可得如下表格：
性质
理由
结论
定义域
1 sin x 1
定义域 R
值域
y2 2 2 | cos x |[2 ， 4]
值域[ 2 , 2]
得分 1分 2分
奇偶性 周期性 单调性
3、 33 65
4、 15 4
5、
1 3
,
1 2
6、
6
,
2
7、 1 2,1 2 8、4
9、
6k
3 4
, 6k
9 4
，
k
Z
10、向左平移 个单位 2
11、4, 2
0
；g(x)
3
|
cos
x
|
cos
x
2cos x, 4cos x, x
x (0, ) 2
[ , 3 ] 22
(3 , 2 ) 2；
3
12
取最小时， 的值为 ( )
A．
6
B．
3
三、解答题（48 分）
C． 2
3
17．已知函数 f (x) 4sin3 x cos x 2sin x cos x 1 cos 4x ．
2
（1）求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间；
D． 5
6
（2）求 f (x) 在区间[0, ] 上的最大值和最小值及相应的 x 值；
cos 2x,
x (2k ,
2k
]
2
sin 2x 1, x (2k cos 2x, x (2k ,
, 2k 2 2k 3
2
]
]
，
1
2 sin
2x,
x
(2k
3
, 2k
2
]
2
因为存在 x1 ， x2 R ，对任意 x R ， g(x1) g(x) g(x2 ) 恒成立，
4
2
16
2
18．（1）
x2
cos(
3
)
1 2
cos
3 sin 1 2
2
6
6．
（2）解：依题意得
y1
sin
，
y2
sin(
) 3
．
所以
S1
1 2
x1
y1
1 2
cos
sin 1 sin 2 ，
4
S2
1 2
|
x2
|
y2
1 [cos( 2
)] 3
sin(
) 3
1 sin(2 4
2 3
)
．
得 sin 2 2sin(2 2 ) ，即 sin 2 2[sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 ] sin 2 3 cos 2 ，
积的方法 “三斜求积术”，即 ABC 的面积 S
1
[a2c2
a2 (
c2
b2
)2
]
．其中
a
，
b
，
c
分
4
2
别为 ABC 内角 A 、 B 、C 的对边．若 b 2 ，且 tan C 3 sin B ，则 ABC 的面积 S 的最大
1 3 cos B
值为 ．
二．选择题（每小题 4 分，共计 16 分）
3
3
3
整理得 cos 2 0 ．因为 ，所以 2 ，所以 2 ，即 ．
6
2
3
2
4
19．（1） ACD 中， DAC 30 ， ADC 60 DAC 30 ，所以 CD AC 0.1 ．
又 BCD 180 60 60 60 ，故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD BA ；
y2
；
（1）若
x1
1 3
，求
x2
；（2）分别过
A
，
B
作
x
轴的垂线，垂足依次为
C
，
D
．记
AOC
的面积
为 S1 ， BOD 的面积为 S2 ．若 S1 2S2 ，求角 的值．
19．如图， A ， B ， C ， D 都在同一个与水平面垂足的平面内， B 、 D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶，测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ， 30 ，于水面 C 处测得 B 点 和 D 点的仰角均为 60 ， AC 0.1km ．
．
6．函数 y arcsin(cos x)( x 2 ) 的值域为
3
3
7．函数 f (x) 2sin2 x sin 2x 的值域是
； ；
8．在 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若 a 2 ，b c 7 ，cos B 1 ，则 b
．
4
9．函数 f
(
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（2） ABC 中， AB AC ， sin2 15 1 cos30 ，可得 sin15 6 2 ，
sin BCA sin ABC
2
4
即 AB AC sin 60 3 2 6 ，因此， BD 3 2 6 0.33 ；所以 B 、 D 的距离约为 0.33km ．
sin15
20
20
所以当
x1
பைடு நூலகம்
2k
或
x1
2k
2
,k
Z
时，
g(x)
g(x1) 1
当
x2
2k
7 4
,k
Z
时，
g(x)
g(x2 ) 2
所以 |
x1
x2
||
2k1
(2k2
7 4
)
|
, k1, k2
Z
或|
x1
x2
||
2k1
2
(2k2
7 4
)
|
, k1, k2
Z
所以 | x1
x2
| 的最小值是
3 4
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
适当的探究顺序，研究函数 f (x) 1 sin x 1 sin x 的性质，并在此基础上填写下表，作
出 f (x) 在区间[ ， 2 ] 上的图象．
性质