在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
⎧1, i = j δ ij = ⎨ ⎩0, i ≠ j
δ 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， i j 可确 定一单位矩阵：
⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎢δ δ 22 δ 23 ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ 31 δ 32 δ 33 ⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂U i =0 ∂xi
或
∂U1 ∂U 2 ∂U 3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂U x ∂U y ∂U z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
∂U i ∂p ∂U i ∂U i ) = ρ bi − ρ( +U j +μ ∂x j∂x j ∂t ∂x j ∂xi
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程：
∂Txx ∂Txy ∂Txz + + + bx = 0 ∂x ∂z ∂y ∂Tyx ∂x + ∂Tyy ∂y + ∂Tyz ∂z + by = 0
∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz + + + bz = 0 ∂x ∂z ∂y
是一个数值，即
δ ii = 3
δi j
的作用：1）换指标；2）选择求和。
例1：
Ai → Ak
δ k i Ai = δ k k Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2：
Tk j → Ti j
特别 地，
δ i kTk j = δ i iTij = Tij δ i kδ k j = δ ij , δ i kδ k jδ jm = δ i m
S = ai xi = a j x j = ak xk
or
or
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
∑a b x
i =1
n
i i i
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题
ai xi = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3
bjj = b11 + b22 + b33
cm e m = c1e1 + c2e 2 + c3e3
把（2） 代入（1）
bi = Vi m cm
m
bm = Vm n cn
n or else
1.4 指标记法的运算
1.4.2 乘积 设
不符合 求和约 定
p = U m am q = V m bm p q ≠ U m amVmbm
则
p q = U m amVn bn
1.4 指标记法的运算
1.4.3 因式分解 考虑 第一步用
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标
′ e1 = A11e1 + A12e 2 + A13e3 e′2 = A21e1 + A22e 2 + A23e3 e′ = A31e1 + A32e 2 + A33e3 3
又如，方程
Θ + Θ + Θ = α1 β1Ψ1 + α 2 β 2 Ψ2 + α 3 β 3 Ψ3
2 1 2 2 2 3
用指标法表示，可写成
Θi Θi = α i β i Ψi = α i β i Ψi = α i β i Ψi
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
eαβ eγδ =
δ αγ δ βγ δ αδ δ βδ
二维关键公式：
δ αγ eαβ eγδ = δ βγ δ αδ δ βδ
δ αδ δ βδ
eαβ eαδ
δ αα = δ βα
δ αδ 2 = δ βδ δ βα
eαβ eαδ = 2δ βδ − δ βα δ αδ = 2δ βδ − δ βδ = δ βδ eαβ eαβ
α1' j = cos α1' j
j = 1, 2
1.5.1 坐标系的变换关系
⎧e1′ ⎫ ⎡α1′ 1 α1′ 2 α1′ 3 ⎤ ⎧e1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪e ⎪ ⎨e 2′ ⎬ = ⎢α 2′1 α 2′2 α 2′3 ⎥ ⎨ 2 ⎬ ⎪e ⎪ ⎢α α 3′1 α 3′3 ⎥ ⎪e3 ⎪ 3′ ⎭ 3′1 ⎩ ⎣ ⎦⎩ ⎭
张量分析及其应用
第一章 张量代数 第二章 张量分析 第三章 张量应用
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
S = a1 x1 + a2 x2 + L an xn = ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： 每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求 和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑 标。 于是
若
e1 , e 2 , e 3
是相互垂直的单位矢量，则
e i ⋅e j = δ i j
，但
e i ⋅ e i = e1 ⋅ e1 + e 2 ⋅ e 2 + e 3 ⋅ e 3 = 3
而
δ i i = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3
e i ⋅e i = δ i i
，故
注意：
δ ii
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标
′ e1 = A11e1 + A12e 2 + A13e3 e′2 = A21e1 + A22e 2 + A23e3 e′ = A31e1 + A32e 2 + A33e3 3
′ Cij = Aik B jk
表示9个方程：
i ，j为自由指标，k 为哑标
证明：
Q
Ai l Ajl Ak l
Ai m Ajm Ak m
Ai n A11 Ajn = ei jk el m n A21 Ak n A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
令பைடு நூலகம்
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
ji
δ = j iA
指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零
ei jk
例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = L = 0
可见：
ei jk = e jk i = ek i j = −e ji k = −ei k j = −ek ji
ei jk
若 则
也称为三维空间的排列符号。 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
二维置换符号
eαβ
(α , β = 1, 2)
从三维退化得到
eαβ = ei j3 = eαβ 3
其中
e11 = e22 = 0, e12 = −e21 = 1
有下列恒等式
eαβ eγδ = δ αγ δ βδ − δ αδ δ βγ eαβ eαδ = δ βδ , eαβ eαβ = 2 = 2!
1.5.1 坐标系的变换关系
α i′j = cos(ei′ , e j ) = e i′ ⋅ e j
旧 新
e1
e2
e2
e1′ e 2′
α1′ 1 α 2′1
α 3′1
α1′ 2
α 2 ′2
α 3′2
α1′ 3 α 2′3 α 3′3
e3′
图解（二维）：
在解析式中记：
′ e1 = α1'1e1 + α1'2e 2 = α1' je j ,
三重求和（27项）
S = ∑∑∑ aijk xi xj xk = aijk xi xj xk
i =1 j=1 k =1
3
3
3
1.1.2 自由指标
例如
xi′ = aij x j
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。 一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
′ C11 = A1k B1k = A11 B11 + A12 B12 + A13 B13 ′ C12 = A1k B2k = A11 B21 + A12 B22 + A13 B23 ′ C13 = A1k B3k = A11 B31 + A12 B32 + A13 B33 ′ C21 = A2k B1k = A21 B11 + A22 B12 + A23 B13
关键公式：
ei jk el m n
δ il δ im δ in = δ jl δ j m δ j n δ kl δ km δ kn
δ il δ i m δ i3 δ il δ i m 0 ei j3el m 3 = δ jl δ jm δ j3 = δ j l δ jm 0 δ 3 l δ 3 m δ 33 0 0 1