第一章运动学
E=mC
第二节速度加速度
知识导航
1．平均速度
在一段时间t 内，质点的位移为r，那么，位移r 与时间t 的比值叫做平均速度。
平均速度可以粗略描述一段时间内物体运动的快慢和运动方向。
r
v
平均
t
2．即时速度
我们把t 趋近于零时，平均速度r
所趋近的极限值，叫做运动质点在t 时刻的即时速度（也称为瞬t
时速度）。
即
r
v lim
t0t
即时速度可以精确、如实地描述质点在任一时刻的邻近时间内变速直线运动的快慢，平均速度、即时
速度都是矢量，具有大小和方向。
描述质点的运动，有时也采用一个叫做“速率”的物理量。
速率是标量，等于运动质点所经过的路程
与经过该路程所用时间的比值，而不考虑质点运动的方向。
所以平均速率可定义为
s
v
t
一般情况下平均速率与平均速度的大小是不相等的。
例如，在某一时间内，原点沿闭合曲线环行一周，虽然质点的位移等于零，平均速度也为零，而质点的平均速率是不等于零的。
而即时速率就是即时速度的
大小，而不考虑方向。
3．加速度
在变速运动中，速度改变的快慢一般是不同，为了研究速度随时间而改变的特征，物理学中引入了加
速度的概念，它等于速度对时间的变化率，即a v。
t
从上式求得的实际上是质点运动的平均加速度，依平均速度和瞬时速度知识可得即时加速度为
a lim v
t
t 0
例题分析
第一章 运动学
E=mC
例题 1．已知某质点的运动学方程为 x=（ t 2 +4） m ，试求第 1 秒到第 2 秒这段时间内的平均速度及即
时速度、加速度。
解析： 平均速度为
v
x x 2 x 1
(t 22 4) (t 12 4)
t
t 2 t 1
t 2 t 1
8
5
3m / s
2 1
方向沿 x 轴的正方向。
即时速度为
lim
x (t
t) 2 4 (t 2
4)
v
t
lim
t
t
t
lim
t0 2t t t 2 2tm / s
t
因此， 1 秒末和 2 秒末的速度分别为 2 m / s 、 4 m / s 。
加速度为
a
lim
v lim 2(t
t ) 2t 2m / s 2
vt
t
t 0
t
点评： 该题主要是练习如何运用数学中的极限来求瞬时速度和瞬时加速度，从而加深物理量对时间的 变化率的理解。
如位移对时间的变化率就是瞬时速度，速度对是时间的变化率就是加速度等。
例题 2． 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心 l 1=1 m
的 A 点处时，速度是 v 1 2cm/ s ,试问蚂蚁从 A 点爬到距巢中心 l
2=2
m 的 B 点所需的时间为多少？
解法一 ：蚂蚁爬行作变速运动，为了求解，可将 AB 间距拆分成很小的 n 等份，则在任一等份内蚂蚁
的运动可看成是匀速运动，但在各等份中运动的速度并不相等，将蚂蚁经过各等份所需时间加起来即是所
求的时间。
将蚁巢中心定为坐标原点
O ，OA 连线即为 x 轴正向，则坐标
x 处蚂蚁的速度可表示为
v k / x l 1v 1 / x
即
1 1 x
v
l 1 v 1
图 1-2-1
将 A 、B 连线分成 n 等份，如图 1-2-1 所示，
每份长 x (l 2
l 1 ) / n ，对应的速度为 v 1 、v 1 ′、 v 2′ v n-1 ′、 v 2，当 n 很大时，每小段运动可看成匀
速运动，由 A 到 B 所需的总时间为
T
x x
x
x
v 1 v 1 '
v 2 ' v n 1 '
x(
1
1 1
x ）
第一章 运动学
E=mC
( 1
1 ) n
l 1 ( 1
1 )
l 2
l 1 v 1
v'n 1 l 2
n
2
2
v 1 v'n 1
当 n
时， v'n 1 v 2 ，则上式可变为
l 2
l
1
v v l 2
l 2
T 1
2
2
1
75s
2v 1v 2
2l 1v 1
解法二： 蚂蚊爬完每一段路程
x 所用的时间 t 为： t
x
1 x 可见，如果作
1
x 图像时，
v
v v
其中阴影区的面积恰为
t 。
又因为
1
x ，所以做出的 1 x 图像是一条 v v 时，梯形 abcd
过原点的直线， 如图 1-2-2 所示。
从图中不难看出， 当 n
的面积即为蚂蚁从 A 到 B 的时间，
1 1
)(l 2 l 1 )
(
v 2 v 1
T
2
l 22 l 12 75s
2l 1v 1
图 1-2-2
点评： 比较两种解法，显然解法二比解法一简便清晰得多，可见图像法解题在物理问题中十分有
用。
另外还需注意两种解法中都用到了分割求和的处理手法，这种方法在解决一些物理问题时是非常有效的，以后会经常遇到，学生们一定要熟练掌握。
历届赛题回访
赛题：（第一届全国中学生力学竞赛预赛试题 ）地下电车站的自动扶梯在 1 分钟内可以把一个静止的
站在梯上的人送上地面。
如果自动扶梯不动，这个人沿扶梯走上地面需要 3 分钟，那么这个人沿着动的自
动扶梯走上地面需要
分钟。
解析： 设扶梯的长度是 s ，自动扶梯的速度大小为
v 1
s t 1 ，人相对扶梯的速度大小为 v 2 s t 2 ，人
v 3 v 1 s s s
在动的自动扶梯上走动时相对地面的速度大小为
v 2 ，即
t 1
，得
t 3
t 2
t 3
t 1t 2 3
min
t 1 t 2
4
第一章运动学
E=mC
导航练习二
1．一位电脑动画爱好者设计了一个“猫捉老鼠”的动画游戏。
如图1-2-3
所示。
在一个边长为 a 的大立方体木箱的一个顶角 A 上，老鼠从猫的爪间逃出，
选择了一条最短的路线，沿着木箱的棱边奔向洞口，洞口处在方木箱的另一顶角
B 处，若老鼠在奔跑中保持速度大小v 不变，并不重复跑过任一条棱边及不再回
到 A 点。
聪明的猫也选择了一条最短的路线奔向洞口（设猫和老鼠同时从 A 点
出发），则猫奔跑的速度为多大时，猫恰好在洞口再次捉住老鼠？（答案：
v0
5 图 1-2-3
v ）
3
2．在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t1 20min 减小一半。
问此后半径又
减小一半需要多少时间？（答案：5min ）
3．磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带，绕好后带卷的末半径r末为初半径 r初的3 倍。
绕带的时间为t 。
要在相同的带轴上重新绕上带长相同、厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时
间？（答案： ( 5 1)t ）
4．有两把齿距不同的梳子，其中白色的一把每厘米有 4 个齿，黑色的一把每厘米有 5 个齿。
将其重叠起来，如图 1-2-4 所示，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以
看到亮段和暗段交替出现。
如果把其中的一把梳子以1cm/s 的速
度移动，问亮的部位将以多大的速度移动？（答案：5cm/s 或 4cm/s）
5． 3 个芭蕾舞演员同时从边长为l 的正三角形三顶点出发，
以相同的速率始终保持 A 朝着 B，B 朝着 C，C 朝着 A 运动。
问
经过多少时间 3 人相聚？每个演员跑了多少路程？（答案： 2l 3v ；
2l 3 ）
图 1-2-4 6．一只蟑螂和两只甲虫在一水平大桌面上爬行，每只甲虫的速度都能达到 v 1cm / s。
开始时这些虫子恰位于一个等边三角形的三个顶点上。
问蟑螂应具有什么样的速度，才能在两只甲虫任意移动的情况之
下仍能保持三者分别位于一等边三角形的三个顶点上？（答案：v0 2cm / s）。