1．有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 10－2 m。

若使物体上下振动，且规定向下为正方向。

（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0 10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。

（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60 m/s的速度向上运动，求运动方程。

题1分析：求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω，和ϕ。

其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即ω，k可根据物体受力平衡时弹簧的=k/m伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。

解：物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F = mg 。

而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。

则弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。

系统作简谐运动的角频率为1s 10//-=∆==l g m k ω（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。

由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。

则运动方程为])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x（2）t = 0时，020=x ，120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，2/2πϕ=；则运动方程为]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x2．某振动质点的x －t 曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需要的时间。

题2分析：由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。

本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。

曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便 。

解：（1）质点振动振幅A = 0.10 m 。

而由振动曲线可画出t = 0和t = 4s 时旋转矢量，如图所示。

由图可见初相）或3/5(3/00πϕπϕ=-=，而由()3201ππω+=-t t得1s 24/5-=πω，则运动方程为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3s 245cos )m 10.0(1ππt x（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A /2处运动到正向的端点处。

对应的旋转矢量图如图所示。

当初相取3/0πϕ-=时，点 P的相位为πωϕϕ2)0(p 0P =-+=t ）。

（3）由旋转关量图可得3)0(P πω=-t ，则s 6.1P =t0)0(P 0P =-+=t ωϕϕ（如果初相取3/50πϕ=，则点P 相应的相位应表示为πωϕϕ2)0(p 0P =-+=t3． 点作同频率、同振幅的简谐运动。

第一个质点的运动方程为)cos(1ϕω+=t A x ，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点。

试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差。

题3.解：图为两质点在特定时刻t 的旋转矢量图，OM 表示第一个质点振动的旋转矢量；ON 表示第二个质点振动的旋转矢量。

可见第一个质点振动的相位比第二个质点超前2/π，即它们的相位差2/πϕ=∆。

第二个质点的运动方程应为)2cos(2πϕω-+=t A x4．波源作简谐运动，其运动方程为t y )s 240cos()m 100.4(13--⨯=π，它所形成的波形以30 m/s的速度沿一直线传播。

（1）求波的周期及波长；（2）写出波 动方程。

解：（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率1s 240-=πω。

根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有s 1033.8/23-⨯==ωπT波长为m 25.0==uT λ(2) 将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得0s 240m 100.4013==⨯=--ϕπω，，A故以波源为原点，沿x 轴正向传播的波的波动方程为()[]])m 8()s 240cos[()m 100.4(cos 1130x t u x t A y ----⨯=+-=ππϕω5．波源作简谐振动，周期为s 100.12-⨯，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u = 400 m/s 的速度沿直线传播。

求：（1）距离波源8.0 m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0 m 和10.0 m 处两点的相位差。

解：在确知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1sm 400-⋅=u 和初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动方程]2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为 ]2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。

而距波源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为2//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x如果波源初相取2/0πϕ-=，则波动方程为]2/9)(s 200cos[(1ππ-=-t A y 质点P 振动的初相也变为2/9P0πϕ-=，但波线上任两点间的相位差并不改变。

6．平面简谐波以波速u = 0.5 m/s 沿Ox 轴负方向传播，在t = 2 s 时的波形图如图所示。

求原点的运动方程。

题6分析：从波形图中可知振幅A 、波长λ和频率ν。

由于图（a ）是t = 2 s 时刻的波形曲线，因此确定t = 0时原点处质点的初相就成为本题求解的难点。

求t = 0时的初相有多种方法。

下面介绍波形平移法、波的传播可以形象地描述为波形的传播。

由于波是沿 Ox轴负向传播的，所以可将t = 2 s 时的波形沿Ox 轴正向平移m 0.1s 2)s m 50.0(1=⨯⋅==∆-uT x ，即得到t = 0时的波形图，再根据此时点O 的状态，用旋转关量法确定其初相位。

解：由图得知彼长m 0.2=λ，振幅A = 0.5m 。

角频率1s 5.0/2-==πλπωu 。

按分析中所述，从图可知t = 0时，原点处的质点位于平衡位置。

并由旋转矢量图得到2/0πϕ=，则所求运动方程为]5.0)s 5.0cos[()m 50.0(1ππ+=-t y7. 牛顿环装置中，透镜的曲率半径R = 40 cm ，用单色光垂直照射，在反射光中观察某一级暗环的半径r = 2.5 mm 。

现把平板玻璃向下平移m 0.50μ=d ，上述被观察暗环的半径变为何值？8. 在折射率52.13=n 的照相机镜头表面涂有一层折射率38.12=n 的MgF 2增透膜，若此膜仅适用于波长nm 550=λ的光，则此膜的最小厚度为多少？解：（解法一）因干涉的互补性，波长为550nm 的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差d n 222=∆，由干涉相消条件2)12(2λ+=∆k ，得 24)12(n k d λ+=取k = 0，则nm 3.99min =d（解法二）由于空气的折射率n l = 1，且有n 1＜n 2＜n 3，则对透射光而言，两相干光的光程差2221λ+=∆d n ，由干涉加强条件，λk =∆1得，取k = l ，则膜的最小厚度nm 3.99min =d9. 如图所示，狭缝的宽度 b =0.60 mm ，透镜焦距f = 0.40 m ，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处。

若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O 为x = 1.4 mm 处的点 P ，看到的是衍射明条纹。

试求：（1）该入射光的波长；（2）点P 条纹的级数；（3）从点P 看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目。

题9分析：单缝衍射中的明纹条件为2)12(sin λϕ+±=k b ，在观察点P 确定（即ϕ确定）后，由于k 只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值。

此外，如点P 处的明纹级次为k ，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k ＋ l ），它们都与观察点P 有关，ϕ越大，可以划分的半波带数目也越大。

解：（l ）透镜到屏的距离为d ，由于d >>b ，对点P 而言，有d x ≈ϕsin 。

根据单缝衍射明纹条件 2)12(sin λϕ+=k b ，有2)12(λ+=k d bx 将b 、d （f d ≈)、x 的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有nm 400min =λ时，75.4max =knm 760max =λ时，27.2min =k因k 只能取整数值，故在可见光范围内只允许有 k = 4和 k = 3，它们所对应的入射光波长分别为2λ= 466.7 nm和1λ= 600 nm。

（2）点P的条纹级次随入射光波长而异，当1λ= 600 nm时，k = 3；当2λ= 466.7 nm时，k = 4。

（3）当1λ = 600 nm时，k = 3，半波带数目为（2k＋l）= 7；当2λ= 466.7 nm时，k = 4，半波带数目为9。

10．为了测定一光栅的光栅常数，用λ= 632.8 nm的单色平行光垂直照射光栅，已知第一级明条纹出现在38的方向，试问此光栅的光栅常数为多少？第二级明条纹出现在什么角度？若使用此光栅对某单色光进行同样的衍射实验，测得第一级明条纹出现在270的方向上，问此单色光的波长为多少？对此单色光，最多可看到第几级明条纹？解：由题意知，在λ = 632.8 nm ， k = 1时，衍射角ϕ = 380，由光栅方程可得光栅常数 m 1003.1sin 6-⨯==ϕλk dk = 2时，因12>d λ，第二级明纹（即k =2）所对应的衍射角2ϕ不存在，因此用此波长的光照射光栅不会出现第二级明纹。

若用另一种波长的光照射此光栅，因第一级明纹出现在027'=ϕ的方向上，得 nm 468'sin '==k d ϕλ令1'sin =ϕ，可得用此波长光照射时，屏上出现的最大条纹级次为2.2'm ==λdk因k 只能取整数，则k m = 2，故最多只能看到第二级明纹。

11．测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线的多大仰角处？（水的折射率为1.33）(36.9o)12．一束光是自然光和线偏振光的混合，当它通过一偏振片时，发现透射光的强度取决于偏振片的取向，其强度可以变化5倍，求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几。

解：设入射混合光强为I ，其中线偏振光强为xI ，自然光强为（1x ）I 。