1.1.1变化率问题练习一、选择题 1．在表达式f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 的值不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0[答案] C[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选C.2．函数y ＝f (x )当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9[答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f －0.9－f －1－0.9－－1＝－1.71－－20.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A 、B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09 D ．2.1[答案] B[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69. ∴k AB ＝f 1.3－f 11.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2＋2x ，则S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx[答案] B[解析] ∵S (2)＝－22＋2×2＝0，∴S (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2， ∴S 2＋Δx －S 22＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B.6．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx ＝( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x[答案] B[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以Δy Δx ＝2Δx ＋4.二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________________.[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12 [解析] ΔyΔx ＝2＋Δx3－2－23－2Δx＝Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________________．[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.9．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________________．[答案] 5 4.1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率 k 1＝ΔyΔx＝2＋Δx2－1－22＋1Δx ＝2＋12－221＝5.当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx＝2＋0.12－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题10．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]、[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f －1－f －3－1－－3＝[2×－1＋1]－[2×－3＋1]2＝2.函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为f 5－f 05－0＝2.函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g －1－g －3－1－－3＝－2.函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g 5－g 05－0＝－2.高中数学一、选择题11．质点运动规律S (t )＝2t ＋3，则t 从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．9 B ．9.6 C ．2 D ．0.2[答案] C[解析] S (3)＝9，S (3.3)＝9.6， ∴平均速度v ＝S 3.3－S 33.3－3＝0.60.3＝2，故应选C. 12．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.13．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B ．Δtst 0＋Δt －st 0C.s t 0＋Δt －s t 0ΔtD ．s tt[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.14．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( )A ．v 2＝v 3<v 1B ．v 1<v 2＝v 3C ．v 1<v 2<v 3D ．v 2<v 3<v 1[答案] C[解析] ∵v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象易知k OA <k AB <k BC ， ∴v 1<v 2<v 3，故选C. 二、填空题15．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________________．[答案] 6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝6－2. 16．过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，当Δx＝14时割线的斜率为________________． [答案] －7225[解析] 割线AB 的斜率k ＝2＋Δy －21＋Δx －1＝ΔyΔx＝21＋Δx2－2Δx＝－2Δx ＋21＋Δx2＝－7225. 三、解答题17．比较y ＝x 3与y ＝x 2在x ＝2附近平均变化率的大小．[解析] 当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝2＋Δx 3－23Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12，y ＝x 2的平均变化率k 2＝2＋Δx2－22Δx＝Δx ＋4，∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝(Δx ＋52)2＋74>0，∴k 1>k 2.∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大．18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10s 内身影的平均变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f x 2－f x 1x 2－x 1＝7214＝14. 即人离开路灯10s 内身影的平均变化率为14.1.1.2导数的概念练习一、选择题1．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt ＝18＋3Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (18＋3Δt )＝18，故应选B. 2．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0[答案] C[解析] f ′(0)＝lim Δx →0 0＋Δx2－30＋Δx －02＋3×0Δx＝lim Δx →0Δx2－3ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C. 3．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f ΔxΔx＝－1，则f ′ (0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0 f 0＋Δx －f 0Δx ＝lim Δx →0 f ΔxΔx＝－1， ∴选B.4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0 C ．8t 0＋4 D ．4t 0＋4t 2[答案] C[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4(Δt )2＋4Δt ＋8t 0Δt ， ΔsΔt＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2[答案] D[解析] f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B ．12516米/秒C ．8米/秒D ．674米/秒[答案] B[解析] ∵Δs Δt＝4＋Δt2＋34＋Δt －16－34Δt＝Δt2＋8Δt ＋－3Δt 44＋ΔtΔt＝Δt＋8－316＋4Δt.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 二、填空题7．已知函数f (x )＝x ＋kx，f ′(1)＝－2，则k ＝________________. [答案] 3[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋k 1＋Δx －1－k ＝Δx －k Δx1＋ΔxΔy Δx ＝1－k1＋Δx∵f ′(1)＝－2，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1－k ＝－2，∴k ＝3. 8．已知y ＝x ＋4，则y ′|x ＝1＝________________. [答案]510[解析] 由题意知Δy ＝1＋Δx ＋4－1＋4＝5＋Δx －5， ∴Δy Δx ＝5＋Δx －5Δx. ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →05＋Δx －5Δx ＝lim Δx →0 Δx Δx5＋Δx ＋5＝510. 9．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________________．[答案] 相等 [解析] v 0＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →0 st 0＋Δt －s t 0Δt＝lim Δt →0v t 0＋Δt －vt 0Δt＝lim Δt →0 v ·ΔtΔt＝v . 三、解答题10．下面是利用导数的定义求函数f (x )＝x ＋2在x ＝2处的导数的解题过程： 因为Δy ＝2＋Δx ＋2－2＋2＝4＋Δx －2，Δy Δx ＝4＋Δx －2Δx ， 所以f ′(2)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 4＋Δx －2Δx＝0. 试分析解题过程是否正确，如不正确请指出错误，并加以纠正．[解析] 解答过程有错误，最后一步不能直接得到0，因为分母为0时，无意义． 正解：因为Δy ＝2＋Δx ＋2－2＋2＝4＋Δx －2， Δy Δx ＝4＋Δx －2Δx＝4＋Δx －24＋Δx ＋2Δx 4＋Δx ＋2＝14＋Δx ＋2.所以f ′(2)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 14＋Δx ＋2＝14.一、选择题11．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m )与起跳后的时间t (s )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0m/s 的时刻是( )A.6598s B ．6549s C.9865s D ．4965s [答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A.12．设f (x )＝1x，则lim x →afx －f ax －a等于( )A ．－1aB ．2aC ．－1a2D．1a2[答案] C[解析] limx→a f x－f ax－a＝limx →a1x－1ax－a＝－limx→a1ax＝－1a2.[点评] 若令x－a＝Δx，则当x→a时，Δx→0，∴limx→a f x－f ax－a＝limΔx→0f a＋Δx－f aΔx＝limΔx→01a＋Δx－1aΔx＝limΔx→0－1a a＋Δx ＝－1a2.13．(2013·北师大附中期中)已知f′(x0)＝a，则limΔx→0f x0＋Δx－f x0－3Δx2Δx的值为( )A．－2a B．2aC．a D．－a [答案] B[解析] ∵f′(x0)＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝a，∴limΔx→0f x0＋Δx－f x0－3Δx2Δx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0＋f x0－f x0－3Δx2Δx＝12limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＋32limΔx→0f x0－3Δx－f x0－3Δx＝a2＋3a2＝2a，故选B.14．(2015·长春外国语学校高二期中)已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f x0＋h－f x0－hh＝( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0[答案] B[解析]由limh→0f x0＋h－f x0－hh＝limh→0f x0＋h－f x0＋f x0－f x0－hh＝lim h →0f x 0＋h －f x 0h ＋lim h →0 f x 0－h －f x 0－h＝2f ′(x 0)． 故选B. 二、填空题15．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11 ＝Δx －1＋1Δx ＋1＝Δx 2Δx ＋1， ∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 ΔxΔx ＋1＝0. 16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________________． [答案]28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 三、解答题17．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.18．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． [解析] (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt ，lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt ，lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v －＝Δs Δt ＝22＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.1.1.3导数的几何意义练习一、选择题1．(2013～2014·济宁梁山一中期中)已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( )A ．0B ．2C ．4D ．6[答案] D[解析] Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6(Δx )＋6(Δx )2＋(Δx )3，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.2．(2013·安阳中学期末)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0a 1＋Δx2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a Δx2Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－53处切线的倾斜角为( )A ．1B ．π4C.54π D ．－π4[答案] B[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [13x ＋Δx 3－2]－13x 3－2Δx＝li m Δx →0[x 2＋x Δx ＋13(Δx )2]＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交[答案] B[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B. 5．设f (x )为可导函数且满足lim x →0f 1－f 1－2x2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] B [解析]lim x →0f 1－f 1－2x2x＝lim x →0f 1－2x －f 1－2x＝lim －2x →0f [1＋－2x ]－f 1－2x＝f ′(1)＝－1.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[答案] D[解析] ∵(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上， ∴1－2f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1.又∵f ′(1)＝12，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.故选D.二、填空题7．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________________. [答案] －2[解析] 由导函数的定义可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.8．曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． [答案] 54[解析] 因为f ′(3)＝li m Δx →03＋Δx3－33Δx＝27，所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)， 即y ＝27x －54.此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×2×54＝54.9．设f (x )＝f ′(1)＋x ，则f (4)＝________________. [答案] 52[解析]f ′(1)＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0f ′1＋1＋Δx －f ′1＋1Δx＝lim Δx →01＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx －1＝12， ∴f (x )＝12＋x ，∴f (4)＝12＋4＝52.三、解答题10．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程． [解析]∴y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －x ＋Δx －xΔx＝lim Δx →0－Δx x x ＋Δx －Δxx ＋Δx ＋xΔx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x ＋Δx －1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . ∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)．即5x ＋16y ＋8＝0.一、选择题11．曲线y ＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x －8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4[答案] D[解析] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[x ＋Δx3＋x ＋Δx －2]－x 3＋x －2Δx＝lim Δx →0 ((Δx )2＋3x Δx ＋3x 2＋1)＝3x 2＋1. 由条件知，3x 2＋1＝4，∴x ＝±1，当x ＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y ＝4(x －1)， 即y ＝4x －4.当x ＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y ＋4＝4(x ＋1)， 即y ＝4x .12．(2015·河南省高考适应性练习)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( )A.13B ．23C ．－23D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.13．已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定[答案] B[解析] 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义．由导数的定义可得y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－12.二、填空题15．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝________________.[答案] －2[解析] 由导数的概念和几何意义知， lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.16．过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程为________________． [答案] x ＋y －2＝0[解析] 易知(2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0.①又y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2， 所以y ′|x ＝x 0＝－1x 20，即切线方程为y ＝－1x 20(x －2)，而y 0x 0－2＝－1x 20②由①②可得x 0＝1，故切线方程为y ＋x －2＝0. 三、解答题17．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程． [解析] (1)y ′＝li m Δx →0x ＋Δx3－3x ＋Δx －x 3＋3x Δx＝3x 2－3.则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0) 又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1 ＝lim Δx →01＋Δx2＋1＋Δx －2－12＋1－2Δx＝3，所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，y ′|x ＝b ＝lim Δx →0b ＋Δx2＋b ＋Δx －2－b 2＋b －2Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝ (2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0.所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.1.2.1几个常用函数的导数练习一、选择题1．(2014～2015·潍坊市五县期中)双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( )A.14x ＋y ＝0 B ．14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x2，∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14，∴切线方程是y －12＝－14(x －2)，化简得，14x ＋y －1＝0，故选D.2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D. 3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒[答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ， ∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．(2014～2015·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C ．π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．(2015·天津高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f 1－f 1－x2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0f 1－f 1－x 2x ＝12lim x →0 f 1－f 1－x x ＝12lim －x →0f 1－x －f 1－x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________________(填序号)．[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________________． [答案] (2,8)或(－2，－8) [解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．(2014～2015·枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2，令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.三、解答题10．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． [解析] 平移直线x －y －2＝0与抛物线y ＝x 2相切， 设切点为P (x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14，由点到直线的距离公式，得最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.一、选择题11．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B ．174C ．154D ．134[答案] D[解析] ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134，故选D.12．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B ．333 C ． 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x20·(－x0)＝－1，∴x0＝393，故选D.13．曲线y＝3x上的点P(0,0)处的切线方程为( )A ．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3x，∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x3x＋Δx2＋3x x＋Δx＋3x2＝Δx3x＋Δx2＋3x x＋Δx＋3x2，∴ΔyΔx＝13x＋Δx2＋3x x＋Δx＋3x2，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝13x23.∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.14．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2[答案] A[解析] 本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．∵f′(－1)＝limΔx→0－1＋Δx－1＋Δx＋2－－1Δx＝limΔx→0－1＋Δx＋1＋Δx1＋ΔxΔx＝limΔx→021＋Δx＝2，∴曲线在(－1，－1)处的切线方程为y－(－1)＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.二、填空题15．(2015·全国Ⅰ文，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)， 解之得a ＝1. 故本题正确答案为1.16．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题 17．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x .∴Δy Δx＝f x ＋Δx －f x Δx ＝11－x ＋Δx －11－x Δx ＝11－x －Δx1－x，∴lim Δx →0 ΔyΔx＝11－x2，∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝11－22＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝11－x 02，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x . 18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)．∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.1.2.2第1课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）练习一、选择题1．(2014～2015·潍坊市五县期中)若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[分析] 利用三角函数的导数公式，将导函数中的x 用α代替，求出导函数值． [解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014～2015·山师大附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1nB ．1n ＋1C.nn ＋1D ．1[答案] B [解析] 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014～2015·合肥一六八中学高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝e xC ．y ＝ln xD ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.二、填空题7．(2015·陕西理，15)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________________．[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x，则f ′(x )＝e x，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．8．(2014～2015·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为____________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x＝2·x ＋1x －2x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x .(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝1＋x21－x ＋1－x21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－41－x ′1－x 2＝41－x 2.一、选择题11．(2014～2015·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )A ．－eB ．eC ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014～2015·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2016(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] A[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2016(x )＝f 0(x )＝sin x .故选A. 二、填空题15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 16．(2014～2015·宁夏三市联考)经过点P (2,1)且与曲线f (x )＝x 3－2x 2＋1相切的直线l 的方程是________________．[答案] 4x －y －7＝0或y ＝1 [解析] 设切点为(x 0，x 30－2x 20＋1)， 由k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，可得切线方程为y －(x 30－2x 20＋1)＝(3x 20－4x 0)(x －x 0)，代入点P (2,1)解得：x 0＝0或x 0＝2. 当x 0＝0时切线方程为y ＝1； 当x 0＝2时切线方程为4x －y －7＝0.综上得直线l 的方程是：4x －y －7＝0或y ＝1. 三、解答题17．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的， ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋abx 2＋b 2，∴－a －12＋ab 1＋b 2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.1.2.2第2课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）练习一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.2．(2014～2015·贵州湄潭中学高二期中)曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x －2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1. 3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.nn ＋1 B ．n ＋2n ＋1 C ．nn －1D ．n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1， 故选A.4．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ′＝cos2x －sin2x C ．y ′＝sin2x ＋cos2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4[答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.5．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.6．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.二、填空题7．若曲线f (x )＝x －12在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________________.[答案] 64[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32，∴f ′(a )＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32a －12·3a ＝18，∴a ＝64.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝___________.[答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0， 即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.9．(2014·江西临川十中期中)已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________________．[答案] 12ln2[解析] ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2. 三、解答题10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e. ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.一、选择题11．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义． 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D. 12．(2015·海南省文昌中学高二期中)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．e。