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高三10月月考(数学文科)

重庆一中高级高三10月月考数学试题(文科)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.函数x x x f cos sin )(=的是A .周期为π的奇函数B .周期为π的偶函数C .周期为2π的奇函数D .周期为2π的偶函数2.函数)1(log )(>-=a x x f a 常数的大致图像是3.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,连结BD 、B 1D 1,则直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的大小为A .75ºB .60ºC .45ºD .30º4.两个正数a,b 的等差中项是5,等比中项是4,且a>b ,则椭圆122=+by a x 的离心率e 等于A .25B .21 C .23 D .22 5.下列命题中正确的是A .底面是矩形的平行六面体是长方体;B .棱长都相等的直四棱柱是正方体;C .侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;D .对角线相等的平行六面体是直平行六面体; 6.函数x y 2sin =的图像按向量)0,6(π-=平移后的图像的一个中心对称点为A .)0,3(πB .)0,12(π-C .)0,2(πD .)0,12(π7.有下列四个命题:①“直线b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”。

②“OM ∥O 1M 1且ON ∥O 1N 1”是“∠MON=∠M 1O 1N 1”的必要不充分条件。

③“直线α平面⊥l ”的充要条件是“直线α平面⊥l 内的无数条直线”。

④“平面α的斜线段AB ,AC 在α的射影A′B′与A′C′相等”是“AB=AC”的充要条件。

其中正确命题的个数是 A .3B .2C .1D .08.如图在斜棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BAC=90º,又BC 1⊥AC ,过C 1作C 1H ⊥平面ABC ,垂足为H ,则有A .H 在直线AC 上B .H 在直线AB 上C .H 在直线BC 上D .H 在△ABC 内9.已知三棱锥S —ABC 底面的面积为144,一个平行于底面的截面的面积为64,若截面与底面的距离为6,则此三棱锥S —ABC 的高为A .12B .18C .316D .334 10.已知为O 原点,点)sin 2,cos 2(1),(22θθQ ,y x y x P 点上在单位圆=+满足)32,34(-=,则=⋅A .1825B .2516C .165D .3625第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

11.长方体的长、宽、高的长度分别是2、3、4,则其对角线的长为 12.等比数列534,3,}{a a a a n 则中==13.点0134)3,(=+-y x a P 到直线的距离等于4,且在不等式032<-+y x 表示的平面区域内,则点P 的坐标是 。

14.若145,4522=-++<<-λλλx y 则圆锥曲线的焦点坐标为 15.如图,棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为底面的中心,E 是CC 1的中点,则异面直线A 1D 与EO 所成的角的大小为16.若二面角βα--l 的平面角大小为32π,直线α⊥m ,则平面β内的直线与m 所成角的取值范围是三、解答题:本大题共6小题,共76分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中点E 、F 分别是AB 1和AB 的中点, (1)求证:BB 1∥平面EFM ;(2)若FM ⊥BC 于点M ,求证:ME ⊥BC 。

18.(12分)解关于x 的不等式331log log 2(1).1xx x+>+-直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,B 1D ⊥BC ,B 1D 与底面ABCD 成30º的角,且AB=4,BC=2,求此直四棱柱的体积。

20.(13分)如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,∠BAD=90º,AD ∥BC ,AB=BC=1,AD=3,异面直线PD 与BC 所成角为30º(1)求点A 到平面PBC 的距离;(2)求二面角A —PC —B 的平面角的正弦值。

21.(13分)设}{n a 为正项数列,n S 是其前n 项和,且n a 、n S 、2n a 成等差数列, (1)求}{n a 的通项公式; (2)证明:.111113221<++++n n a a a a a a已知△OFQ 的面积为m O =⋅且,62,(1)设6424<<m ,求向量θ夹角与的取值范围;(2)若以O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点Q (如图),设11(,0),()F c Q x y ,261)m c =,||OQ 当取最小值时,求此双曲线的方程。

参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADDCDADB B A11.29 12.9 13.(-3,3) 14.(0,±3) 15.90º16.[2,6]17.(1)∵F 、E 分别是正三棱柱中AB 和AB 1的中点,∴BB 1∥FE又BB 1⊄平面EFM ,FE ⊂平面EFM ,∴BB 1∥平面EFM (2)∵正三棱柱的侧棱BB 1⊥平面ABC ,∴BB 1⊥BC∵BB 1∥FE ,∴BC ⊥FE又∵MF ⊥BC ,∴BC ⊥平面EFM ,∴BC ⊥MF18.由10110xx x +⎧>⎪-⎨⎪+>⎩,解得11x -<<原不等式等价于12(1)1x x x +>+-,(1)(21)10,112x x x x +-<<<-即有解之得; 原不等式的}121|{<<x x 解集为.19.连结BD ,∵BB 1⊥平面ABCD ,又B 1D ⊥BC ,∴BD ⊥BC (三垂线逆定理) ∵DC=AB=4,BC=2,∴BD=322422=- 又∵BB 1⊥平面ABCD∴∠B 1DB 是B 1D 与面ABCD 所成的角,即∠B 1DB=30º。

在Rt △B1BD 中,BB 1= 230tan =︒⋅BD ∴382322=⋅⋅=⋅=h S V 面积体积20.(1)解法一:∵PA ⊥面ABCD 且AB ⊥BC ,AB 是PB 面ABCD 内的射影∴PB ⊥BC (三垂线定理) ∴PB ⊥面PAB 且BC ⊂面PBC ∴面PBC ⊥面PAB 其交线为PB过A 在平面PAB 内作AH ⊥PB 于H ,则AH ⊥面PBC ∴AH 即为点A 到平面PBC 的距离 又∵AD ∥BC∴∠PDA 即为PD 与BC 所成的角,即∠PDA=30º ∵AD=3,∴PA=AD 330tan =︒⋅,PB=2,AB=1∴23=⋅=PB AB PA AH 解法二:(等积法)设点A 到平面PBC 的距离为d∵PA ⊥面ABCD ,∴PBC A ABC P V V --= 即d S PA S PBC ABC ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131 ∵AB=BC=1且∠ABC=90º ,∴21=∆ABC S ,解得23=d(2)∵PA ⊥面ABCD 且PA ⊂面PAC ,∴面PAC ⊥面ABCD 其交线为AC过点B 在平面ABCD 内作BM ⊥AC 于M ,则BM ⊥面PAC又过点M 在平面PAC 内作MN ⊥PC 于N ,连结MN ,则BN ⊥PC (三垂线定理) ∴∠BNM 即为二面角A —PC —B 的平面角 在552512=⋅=⋅=∆PC BC PB BN PBC Rt 中 在22=⋅=∆AC BC AB BM ABC Rt 中 ∴在410sin ==∠∆BN BM BNM BMN Rt 中 即二面角A —PC —B 的平面角的正弦值为41021.(1)由题意得22n n n a a S +=……①,又有21112++++=n n n a a S ……②由②—①得:221112n n n n n a a a a a --+=+++化简整理得))((111n n n n n n a a a a a a -+=++++ ∵0>n a ,∴01>++n n a a ,∴11=-+n n a a又由1021112111=>=+=a a S a a a S n 解得及且∴}{n a 是首项为1,公差为1的等差数列,∴}{n a 的通项公式为n a n = (2)证明:111)1(111+-=+=+n n n n a a n n∴12231111111111(1)()()1122311n n a a a a a a n n n +++=-+-++-=-<-+ 22.(1)由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=-⋅.cos ||||,62)sin(||||21m FQ OF FQ OF θθπ,∴tan m θ=42m <<∴1tan 43ππθθ<<<<则(2)设所求的双曲线方程为),(),,(),0,0(111112222y c x FQ y x Q b a by a x -=>>=-则点∵△OFQ 的面积62||||211=y OF ,∴c y 641±= 又由2111)146()(),)(0,(c c c x y c x c FQ OF -=-=-=⋅,∴c x 461= .||4,129683||222121最小时当且仅当,c cc y x =≥+=+=此时Q的坐标为)6,6()6,6(-或, 由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-161662222b a b a解得22224 1.41212a x yb ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩故所求方程为。

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