重庆一中高级高三10月月考数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数x x x f cos sin )(=的是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数2．函数)1(log )(>-=a x x f a 常数的大致图像是3．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，连结BD 、B 1D 1，则直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的大小为A ．75ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．两个正数a,b 的等差中项是5，等比中项是4，且a>b ，则椭圆122=+by a x 的离心率e 等于A ．25B ．21 C ．23 D ．22 5．下列命题中正确的是A ．底面是矩形的平行六面体是长方体；B ．棱长都相等的直四棱柱是正方体；C ．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；D ．对角线相等的平行六面体是直平行六面体； 6．函数x y 2sin =的图像按向量)0,6(π-=平移后的图像的一个中心对称点为A ．)0,3(πB ．)0,12(π-C ．)0,2(πD ．)0,12(π7．有下列四个命题：①“直线b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”。
②“OM ∥O 1M 1且ON ∥O 1N 1”是“∠MON=∠M 1O 1N 1”的必要不充分条件。
③“直线α平面⊥l ”的充要条件是“直线α平面⊥l 内的无数条直线”。
④“平面α的斜线段AB ，AC 在α的射影A′B′与A′C′相等”是“AB=AC”的充要条件。
其中正确命题的个数是 A ．3B ．2C ．1D ．08．如图在斜棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90º，又BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥平面ABC ，垂足为H ，则有A ．H 在直线AC 上B ．H 在直线AB 上C ．H 在直线BC 上D ．H 在△ABC 内9．已知三棱锥S —ABC 底面的面积为144，一个平行于底面的截面的面积为64，若截面与底面的距离为6，则此三棱锥S —ABC 的高为A ．12B ．18C ．316D ．334 10．已知为O 原点，点)sin 2,cos 2(1),(22θθQ ，y x y x P 点上在单位圆=+满足)32,34(-=，则=⋅A ．1825B ．2516C ．165D ．3625第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
把答案填写在答题卡相应位置上。
11．长方体的长、宽、高的长度分别是2、3、4，则其对角线的长为 12．等比数列534,3,}{a a a a n 则中==13．点0134)3,(=+-y x a P 到直线的距离等于4，且在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是 。
14．若145,4522=-++<<-λλλx y 则圆锥曲线的焦点坐标为 15．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面的中心，E 是CC 1的中点，则异面直线A 1D 与EO 所成的角的大小为16．若二面角βα--l 的平面角大小为32π，直线α⊥m ，则平面β内的直线与m 所成角的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共76分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中点E 、F 分别是AB 1和AB 的中点， （1）求证：BB 1∥平面EFM ；（2）若FM ⊥BC 于点M ，求证：ME ⊥BC 。
18．（12分）解关于x 的不等式331log log 2(1).1xx x+>+-直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，B 1D ⊥BC ，B 1D 与底面ABCD 成30º的角，且AB=4，BC=2，求此直四棱柱的体积。
20．（13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=90º，AD ∥BC ，AB=BC=1，AD=3，异面直线PD 与BC 所成角为30º（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）求二面角A —PC —B 的平面角的正弦值。
21．（13分）设}{n a 为正项数列，n S 是其前n 项和，且n a 、n S 、2n a 成等差数列， （1）求}{n a 的通项公式； （2）证明：.111113221<++++n n a a a a a a已知△OFQ 的面积为m O =⋅且,62，（1）设6424<<m ，求向量θ夹角与的取值范围；（2）若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），设11(,0),()F c Q x y ，261)m c =，||OQ 当取最小值时，求此双曲线的方程。
参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADDCDADB B A11．29 12．9 13．（-3,3） 14．（0,±3） 15．90º16．[2,6]17．（1）∵F 、E 分别是正三棱柱中AB 和AB 1的中点，∴BB 1∥FE又BB 1⊄平面EFM ，FE ⊂平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM （2）∵正三棱柱的侧棱BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC∵BB 1∥FE ，∴BC ⊥FE又∵MF ⊥BC ，∴BC ⊥平面EFM ，∴BC ⊥MF18．由10110xx x +⎧>⎪-⎨⎪+>⎩，解得11x -<<原不等式等价于12(1)1x x x +>+-，(1)(21)10,112x x x x +-<<<-即有解之得； 原不等式的}121|{<<x x 解集为．19．连结BD ，∵BB 1⊥平面ABCD ，又B 1D ⊥BC ，∴BD ⊥BC （三垂线逆定理） ∵DC=AB=4，BC=2，∴BD=322422=- 又∵BB 1⊥平面ABCD∴∠B 1DB 是B 1D 与面ABCD 所成的角，即∠B 1DB=30º。
在Rt △B1BD 中，BB 1= 230tan =︒⋅BD ∴382322=⋅⋅=⋅=h S V 面积体积20．（1）解法一：∵PA ⊥面ABCD 且AB ⊥BC ，AB 是PB 面ABCD 内的射影∴PB ⊥BC （三垂线定理） ∴PB ⊥面PAB 且BC ⊂面PBC ∴面PBC ⊥面PAB 其交线为PB过A 在平面PAB 内作AH ⊥PB 于H ，则AH ⊥面PBC ∴AH 即为点A 到平面PBC 的距离 又∵AD ∥BC∴∠PDA 即为PD 与BC 所成的角，即∠PDA=30º ∵AD=3，∴PA=AD 330tan =︒⋅，PB=2，AB=1∴23=⋅=PB AB PA AH 解法二：（等积法）设点A 到平面PBC 的距离为d∵PA ⊥面ABCD ，∴PBC A ABC P V V --= 即d S PA S PBC ABC ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131 ∵AB=BC=1且∠ABC=90º ，∴21=∆ABC S ，解得23=d（2）∵PA ⊥面ABCD 且PA ⊂面PAC ，∴面PAC ⊥面ABCD 其交线为AC过点B 在平面ABCD 内作BM ⊥AC 于M ，则BM ⊥面PAC又过点M 在平面PAC 内作MN ⊥PC 于N ，连结MN ，则BN ⊥PC （三垂线定理） ∴∠BNM 即为二面角A —PC —B 的平面角 在552512=⋅=⋅=∆PC BC PB BN PBC Rt 中 在22=⋅=∆AC BC AB BM ABC Rt 中 ∴在410sin ==∠∆BN BM BNM BMN Rt 中 即二面角A —PC —B 的平面角的正弦值为41021．（1）由题意得22n n n a a S +=……①，又有21112++++=n n n a a S ……②由②—①得：221112n n n n n a a a a a --+=+++化简整理得))((111n n n n n n a a a a a a -+=++++ ∵0>n a ，∴01>++n n a a ，∴11=-+n n a a又由1021112111=>=+=a a S a a a S n 解得及且∴}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列，∴}{n a 的通项公式为n a n = （2）证明：111)1(111+-=+=+n n n n a a n n∴12231111111111(1)()()1122311n n a a a a a a n n n +++=-+-++-=-<-+ 22．（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=-⋅.cos ||||,62)sin(||||21m FQ OF FQ OF θθπ，∴tan m θ=42m <<∴1tan 43ππθθ<<<<则（2）设所求的双曲线方程为),(),,(),0,0(111112222y c x FQ y x Q b a by a x -=>>=-则点∵△OFQ 的面积62||||211=y OF ，∴c y 641±= 又由2111)146()(),)(0,(c c c x y c x c FQ OF -=-=-=⋅，∴c x 461= .||4,129683||222121最小时当且仅当，c cc y x =≥+=+=此时Q的坐标为)6,6()6,6(-或， 由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-161662222b a b a解得22224 1.41212a x yb ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩故所求方程为。