2019届高三数学10月月考试题文 (II)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,20,A B x x x =-=->则A B =( )A.{}3B.{}2,3C.{}1,3-D.{}1,2,3 2. 已知复数21iz =-,给出下列四个结论:①2z =;②22i z =;③z 的共轭复数1i z =-+;④z 的虚部为i .其中正确结论的个数是( ) A .0B .1C .2D .33.下列关于命题的说法错误的是( )A.命题“若2320x x -+=,则2x =”的逆否命题为“若2x ≠,则2320x x -+≠” B.“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件C.命题“0x R ∃∈,使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈,均有210x x ++≥”D.“若0x 为()y f x =的极值点,则()00f x '=”的逆命题为真命题 4.已知等差数列的前项和为,若,则( )A . 36B . 72C . 144D . 2885.已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增,且()()f x f x -=,若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为( )A.a c b >>B.b c a >>C.b a c >>D.a b c >>6.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,形成的三棱锥A BCD 的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )A.22 B.12C.24 D.147. 函数()21e x y x =-的图象大致是( )A. B.C. D.8.已知a ,b 为正实数,函数y =2ae x+b 的图象过点(0,1),则1a +1b的最小值是( )A .3+2 2B .3-22C .4D .29. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .由增加的长度决定10.已知{an }的前n 项和S n= n 2-4 n +1,则|a 1|+| a 2|+…+| a 10|=( ) A . 68 B . 67 C . 61 D . 60 11. 函数的图象如图所示,为了得到的图象,则只需将的图象( )A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度12.已知函数()24,0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩()1g x kx =-,若方程()()0f x g x -=在()22,e x ∈-上有3个实根,则k 的取值范围为( )A.(]1,2B.{}31,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C.331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.23311,,222e ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.已知角θ的终边经过()2,3-,则3cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14. 已知向量()()6,2,1,a b m =-=,且ab ⊥,则2a b -= __________.15.某校今年计划招聘女教师a 名,男教师b 名,若a ,b 满足不等式组⎩⎨⎧2a -b ≥5,a -b ≤2,a <7,设这所学校今年计划招聘教师最多x 名,则x =16. 已知数列的前项和为,且数列是首项为3,公差为2的等差数列,若,数列的前项和为,则使得成立的的最小值为__________.三、解答题(本大题共6大题,共70分)17.(12分)已知函数其中且(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的最小正周期和单调递减区间.18. (12分) 已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列,求数列的前项和.19.(12分)已知函数()e 2.xf x x =-(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)若函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点,求实数a 的取值范围.20.(12分)在ABC △中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知()0a b mc m +=>. (1)当3m =时,若6B π=,求()sin A C -的值;(2)当2m =时,若2c =,求ABC △面积最大值.21.(12分) 已知函数()()221ln ,,,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. (1)当12m =时,求函数()f x 的单调区间及极值; (2)若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立,求整数m 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是12{2x t y t=+=(t 为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=,且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)把直线l 与x 轴的交点记为A ,求AP AQ ⋅的值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数的定义域为.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)若的最大值为,解关于的不等式:.一、选择题CBDBBD AAABBB二、填空题 13.3131314.45 15.13 16.5 三、解答题17. 解:(Ⅰ)由已知得,又所以(Ⅱ)函数最小正周期函数单调递减区间为.18.解:(1)由已知, ∴,∴,∴.(2),,∴ .19.解:(1)因为()e 2xf x x =-,所以()'e 2x fx =-.所以()'0 1.f=-又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.(5分)(2)由题意得,()e 2xg x x a =--,所以()'e 2x g x =-.由()'e 20x g x =-=,解得ln 2x =,故当1ln2x -≤<时,()'0g x <,()g x 在[)1,ln 2-上单调递减; 当ln21x <≤时,()'0g x >,()g x 在(]ln 2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-,()1e 2g a =--, 结合函数的图象可得,若函数恰有两个零点,则()()()11e 20,1e 20,ln 222ln 20,g a g a g a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.(12分)20.解: 1)∵3a b c +=,∴sin sin 3sin A B C +=, ∴131sin 3sin 3sin cos 2622A A A A ⎛⎫π⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4分 化简得131sin cos 222A A +=,∴1sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴536A ππ+=,即2A π=,∴3C π=,∴()1sin sin 62A C π-==.6分 (2)∵2c =,∴22a b +=,∴22b a =-,∴11sin 22ABC S ab C ab =≤△, 8分∴()2111222222ABC S ab a a a a ≤=-=-+△,10分∴当2a =时,2122a a -+取最大值1,此时2a b ==,2c =满足2C π=,∴ABC △面积最大值为1. 12分 21.解:(1)由题得,()()21ln 02f x x x x =->,所以()()'10f x x x x=->. 令()'0,fx =得1x =.由()'0,f x >得01x <<,所以()f x 的单调递增区间为()0,1,(2分) 由()'0,f x <得1x >,所以()f x 的单调递减区间()1,+∞.(3分) 所以函数()()1=12f x f =-极大值,无极小值.(4分) (2)法一:令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+,所以()()()2'1111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-=.当0m ≤时,因为0x >,所以()'0G x >,所以()G x 在()0,+∞上是递增函数. 又因为()31202G m =-+>,所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立. 当0m >时,()()()2'1111m x x mx m x m G x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-.令()'0G x =,得1x m=, 所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0G x >;当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()'0G x <,因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数,在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.故函数()G x 的最大值为11ln 2G m m m⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()1ln 2h m m m =-, 因为()1102h =>,()12ln 204h =-<,又因为()h m 在()0,m ∈+∞上是减函数, 所以当2m ≥时,()0h m <,所以整数m 的最小值为2.(12分) 法二:由()1F x mx ≤-恒成立,知()()22ln 102x x m x x x++≥>+恒成立.令()()()22ln 102x x h x x x x ++=>+,则()()()()'22212ln 2x x x h x x x -++=+. 令()2ln x x x ϕ=+, 因为11ln 4022ϕ⎛⎫=-<⎪⎝⎭,()110ϕ=>,且()x ϕ为增函数. 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()00x ϕ=,即002ln 0x x +=.当00x x <<时,()'0h x >,()h x 为增函数,当0x x >时,()'0h x <,()h x 为减函数, 所以()()0002max 0002ln 2212x x h x h x x x x ++===+. 而01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()011,2x ∈, 所以整数m 的最小值为2.(12分)22.解:(Ⅰ)消去方程12{2x t y t==中的参数可得10x y --=.将cos ,sin x y ρθρθ==代入22223cos 4sin 12ρθρθ+=, 可得223412x y +=.故直线l 的普通方程为10x y --=,曲线C 的直角坐标方程为223412x y +=.(II )解法1:在10x y --=中,令0y =,得1x =,则()1,0A .由223412{ 10x y x y +=--=消去y 得27880x x --=.设()11,P x y , ()22,Q x y ,其中12x x < , 则有1287x x +=, 1287x x =-. 故)21111121AP x =+-=--, )22211121AQ x =+-=-,所以AP AQ ⋅ ()()12211x x =--- ()121218217x x x x ⎡⎤=--++=⎣⎦.解法2:把()()21212,2{222,2x t t y t t =+=+⋅==⋅代入223412x y +=,整理得2146290t t +-=, 则12914t t =-, 所以AP AQ ⋅ ()()1212182247t t t t =-⋅=-=.23.解:(Ⅰ)因为函数的定义域为,所以恒成立,设函数,则不大于函数的最小值, 又,即的最小值为4所以.(Ⅱ)当取最大值4时,原不等式等价于所以有,或,解得或.所以,原不等式的解集为.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。