2021届江西省吉安市白鹭洲中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则有（ ）A ．32AB x x ⎧⎫⋃=<⎨⎬⎩⎭B ．{}2A B x x ⋃=<C ．32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭D ．{}2A B x x ⋂=≤【答案】C【分析】求定义域确定集合,A B ，然后求出交集和并集判断各选项．【详解】∵{{}2A x y x x ===≤，(){}23log 322B x y x x x ⎧⎫==-=<⎨⎬⎩⎭，∴32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=≤. 故选：C.2．若复数z 满足()217z i i +=+，则z =（ ）A ．B ．CD ．2【答案】A【解析】分析：由()217z i i +=+，变形为17z 2ii+=+,再用复数的四则运算化简得到z 的代数形式，进而求得z ．详解：由题可知()()()17217913z 22i 2i 55i i i i i +-+===+++-（），所以z ==故选A ．点睛：本题主要考查复数的运算、复数的模长计算，属于基础题．3．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S .则“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先由1322S S S +>进行化简，能推出0d >，即{}n a 为递增数列. 再由{}n a 为递增数列，得321a a a >>，能推出1322S S S +> 故“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件. 【详解】设{}n a 的公差为d .充分性证明：由1322S S S +>得：112312322()a a a a a a a a +++>+⇒> ，即：0d >. 所以{}n a 为递增数列.必要性证明：由{}n a 为递增数列得：321a a a >> ，所以11231122122132()2a a a a a a a a a S S a S =+++>+++=+=+所以“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列的充分必要条件 故选：C.【点睛】本题主要结合等差数列考查充分条件及必要条件的判断.属于基础题目. 4．若函数()log 3a y ax =-为增函数，则函数log a y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据复合函数的增减性知，01a <<，从而画出log a y x =图象，再由偶函数的对称性得出所求图象.【详解】由题可知01a a >≠且，故3y ax =-为减函数，由复合函数()log 3a y ax =-为增函数可得01a <<.当0,log log a a x y x x >==时，此时函数log a y x =为减函数，结合函数log a y x =为偶函数可知，函数log a y x =的图象为选项A 中的图象. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象，属于中档题.5．若实数,x y 满足约束条件5630321x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．10B ．3C ．272 D ．113【答案】B【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求出结果． 【详解】解：由约束条件作出可行域，如下图：联立132x y x=⎧⎨=⎩，解得21,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，化目标函数3z x y =+为1133y x z =-+，由图可知，当直线1133y x z =-+过21,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线21,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在y 轴上的截距最小，所以z 的最小值为3． 故选：B ．【点睛】此题考查简单的线性规划的应用，属于基础题. 6．用数学归纳法证明:()*111111111234212122n N n n n n n-+-+⋯+-=++⋯∈-++，当1n k =+时,等式左边应在n k =的基础上加上（ ） A ．121k + B ．122k -+ C ．112122k k -++D ．112122k k +++ 【答案】C【分析】对比n k =与1n k =+的等式的左边,即可得出结果.【详解】用数学归纳法证明:()*111111111234212122n N n n n n n-+-+⋯+-=++⋯∈-++，当n k =时,则()*111111111234212122k N k k k k k-+-+⋯+-=++⋯∈-++， 当1n k =+,左式=111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++, 当1n k =+时,等式左边应在n k =的基础上加上112122k k -++. 故选:C【点睛】本题考查用数学归纳法来证明与正整数有关的命题,解题的关键是要看出等式的结构形式，写出等式对比就能看出两边的差距,属于基础题.7．已知()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()13sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()153sin 26x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()153sin 26x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据图像可得函数周期，最值，则可得,A ω，再根据五点作图法求得ϕ即可. 【详解】由图可知24T ππω==，解得12ω=； 又因为()3max f x =，故可得3A =； 由五点作图法可知1023πϕ⨯+=，解得6πϕ=-， 故()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.8．在区间[]1,2上任选两个数x ，y ，则2y x<的概率为（ ） A ．1ln2- B ．2ln 21-C ．12D ．ln 2【答案】B【分析】以(,)x y 作为平面直角坐标系中点的坐标，则在区间[]1,2上任取,x y ，可得点(,)x y 对应区域正方形ABCD ，满足2y x<的区域是正方形中在曲线2y x =下方的部分，用积分的几何意义可求得其面积，从而得出概率．【详解】由题意，在区间[]1,2上任选两个数x ，y ，点(,)x y 对应区域为如图正方形ABCD ，面积为2，满足2y x <的区域为图中阴影部分，面积为21212ln 21dx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，所以所求概率为2ln 212ln 211-=-， 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查几何概型，解题关键是以(,)x y 作为点的坐标，从而可得出点所在平面区域，再求出满足条件区域的面积，即可得概率． 9．已知数据122020,,,x x x 的平均数、标准差分别为90,20x x s ==，数据122020,,,y y y 的平均数、标准差分别为,y y s ，若5(1,2,,2020)2nn x y n =+=，则（ ） A ．45,5y y s == B ．45,10y y s ==C ．50,5y y s ==D ．50,10y y s == 【答案】D【分析】分别代入平均数和标准差的公式，得到x 和y 的关系，以及y s 和x s 的关系，计算求值.【详解】()51,2,...,20202nn x y n =+= 202012202012...1155...552020202022220202x x x x x x y ⎡⎤⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦15502x =+=，y s ==11201022x s ==⨯=. 故选：D【点睛】本题考查样本平均数和标准差的计算公式，重点考查计算化简能力，属于中档题型，本题的关键是利用公式正确化简两个数据的平均数和标准差. 10．已知正实数a 、b 、c 满足log 22a =，311og 3b =，6192c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A【分析】计算出a b 、的值，然后考虑666a b c 、、的大小. 【详解】因为1263192,3,2a b c ===，所以666198,9,2a b c ===，则a b c <<，故选A.【点睛】指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.11．已知随机变量()2~1,X N σ，且()()0P X P X a ≤=≥，则()43221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．40 B ．120C ．240D ．280【答案】D【分析】先利用正态分布的性质可求2a =，再利用二项展开式的通项公式可求2x 的系数.【详解】根据正态曲线的性质可知，012a +=⨯，解得2a =，()312x +的展开式的通项公式为132rr rr T C x +=⋅，{}0,1,2,3r ∈，422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()243814422s s s s s s s s T C x c x -+--++=⋅=⋅，{}0,1,2,3,4s ∈，令两式展开通项之积x 的指数为382r s -+=，可得33r s =⎧⎨=⎩或02r s =⎧⎨=⎩， ∴()432212x x x ⎛+⋅⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为333300223434222225624280C C C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=，故选：D.【点睛】方法点睛：利用二项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的.12．已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A．(-∞ B．)+∞C ．(],42ln2-∞-D ．[)42ln2,-+∞【答案】A【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果.【详解】当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥， 当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ，则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-， 令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-； 则()122tx x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >， 则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<=⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e -=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.二、填空题13．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -，∴()3,4AB =-，可得235AB ==，因此，与向量AB 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知414S =，856S =，则16S =__________． 【答案】560【分析】利用等比数列的前n 项和公式，求得43q =及171a q=--（q 是公比）．然后再由等比数列前n 项和公式计算．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，易知1q ≠，因为()4141141a q S q-==-，()8181561a q S q-==-，所以841114q q -=-，所以414q +=，所以43q =，又因为()411141a q q -=-，所以171a q=--， 所以()()204141161156011a q a S q qq -⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦--.故答案为：560.15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．16．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列命题正确的是__________． ①若2ab c >，则3C π<； ②若2a b c +>，则3C π<；③若222a b c +>，则2C π<； ④若()2a b c ab +<，则2C π>． 【答案】①②③【分析】利用余弦定理结合基本不等式判断①②③，举反例判断④． 【详解】①因为222a b ab +≥，2ab c >，所以22222211cos 111222222a b c ab c c ab C ab ab ab ab +---==->+=-=≥，因为0C π<<，所以03C π<<，所以①正确.②由2a b c +>，得()224a b c +>，即()224a b c +<，所以()()222222223232214cos 22882a b a b a b nba b c ab ab C abababab +++-+---⨯=>==≥， 因为0C π<<，所以03C π<<，所以②正确.③由余弦定理得当222a b c +>时，2C π<，所以③正确.④取2a b ==，1c =，满足()2a b c ab +<，但是C 为锐角，所以④错误.所以命题正确的是①②③. 故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：本题考查考查余弦定理，基本不等式的应用，在三角形中判断一个角的大小，可利用余弦函数性质由角的余弦值的范围得角的范围，这样顺理成章地利用余弦定理求出角的余弦，并结合基本不等式得出余弦值范围．得出结论．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】（1）21n a n =+；（2）见解析【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．已知函数()42x xmf x -=是奇函数． （1）求m 的值；（2）设()()4log 41xg x =+，若()()()4log 21f x g a >+对任意1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1m =；（2）132a -<<. 【分析】（1）由(0)0f =求出m ，再检验函数为奇函数即可得；（2）求出1≥x 时()f x 的最小值，然后解不等式min 4()(log (21))f x g a >+，同时使得对数有意义．【详解】（1）由于()f x 为奇函数，且定义域为R ，∴()00f =，即00402m-=，1m =.检验：当1m =时，()41222x x x xf x --==-， ()()22x x f x f x --=-=-，∴()f x 为奇函数.（2）∵()()4log 41xg x =+，∴()()44log 21log 22g a a +=+⎡⎤⎣⎦，又∵()22xxf x -=-在区间[)1,+∞上是增函数，∴当1≥x 时，()()min 312f x f ==， 由题意得43log (22)2210220a a a ⎧>+⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩，∴132a -<<.【点睛】方法点睛：本题考查由奇偶性求参数，考查不等式恒成立．由奇函数求参数的方法：（1）若0x =时有意义，则由(0)0f =求得参数，然后代入进行检验函数确实是奇函数，检验的原因是(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要的条件． （2）根据奇函数的定义求解．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b C ++=． （1）求B ；（2）若3a =，点D 在AC 边上且BD AC ⊥，BD =c ． 【答案】（1）23B π=；（2）5c =． 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用余弦定理可得,b c 满足的方程；根据三角形面积构造方程得到,b c 关系，代入余弦定理构成的方程可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos A C B B C A B C B B C++=++()2sin cos sin 2sin cos sin 0A B B C A B A =++=+=()0,A π∈ sin 0A ∴≠ 2cos 10B ∴+=，即1cos 2B =-()0,B π∈ 23B π∴=（2）由余弦定理得：222239b a c ac c c =++=++BD AC ⊥ 1sin 2ABC S ac B b BD ∆∴==⋅把3,a =2,3B π=BD =75b c =227395c c c ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，解得：5c = 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.20．某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资） 【答案】（1）49（2）应选用2n = 【分析】（1）分析可得随机变量满足二项分布,求得1X =时的概率即可；（2）由（1）,并分别求得X 0=,2X =,3X =时的概率,由题意得到不同方案下实际获利并求得期望,比较大小即可【详解】解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ,则13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭, 因此()1213121241=33279P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①当1n =时,设该企业每月的实际获利为1Y 万元, 若X 0=,则1123135Y =⨯-=；若1X =,则1122+81131Y =⨯⨯-=； 若2X =,则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=； 若3X =,则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=；又()030312803327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()33312133327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此时,实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ②当2n =时,设该企业每月的实际获利为2Y 万元, 若X 0=,则2123234Y =⨯-=； 若1X =,则2122+81230Y =⨯⨯-=； 若2X =,则2121+82226Y =⨯⨯-=； 若3X =,则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=；28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在1n =与2n =之中选其一,应选用2n =【点睛】本题考查二项分布的应用,考查期望的计算,考查数据处理能力与运算能力 21．已知函数()ln f x x ax =-． （1）讨论()f x 在其定义域内的单调性；（2）若1a =，且()()1211f x f x +=+，其中1212x x -<<<，求证：()121220x x x x ++>．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）由（1）知函数的单调性，不等式不等式转化为212212x x x -+>+，由于1011x <+<，222012x x -<<+，利用单调性不等式转化为故只需证明()212212x f x f x ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭， 即证()222212x f x f x ⎛⎫-+>⎪+⎝⎭，这样引入新函数()()()22ln 2ln 112x F x x xx xx --⎛⎫-+⎪++⎝=⎭+-+，利用导数证明(0,2)x ∈时，()0F x >即得．【详解】（1）()11axa x xf x -=='- ①当0a ≤时，()0f x >′，则()f x 在区间()0,∞+上单调递增； ②当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >′，()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x <′，()f x 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， （2）由（1）得：当1a =时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴12102x x <-<<<， 将要证的不等式转化为212212x x x -+>+考虑到此时，1011x <+<，222012x x -<<+， 又当()0,1x ∈时，()f x 递增，故只需证明()212212x f x f x ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，即证()222212x f x f x ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，设()()()22ln 2ln 112x F x x xx x x --⎛⎫-+⎪++⎝=⎭+-+， 则()()()()()()()()22222414411222122x x x F x x x x x x x x ++'=-+-=++-++-+. 当()0,2x ∈时，()0F x '>，()F x 递增，所以，当()0,2x ∈时，()()00F x F >=.所以()222212x f x f x ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，从而命题得证.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．关于不等式的证明，首先对于双变量问题，要进行转化，转化为单变量，方法是把要证的不等式进行变形，分离参数，然后利用已知函数的单调性转化为要证明函数不等式，再利用函数值相等双变量转化为单变量，其次引入新函数，利用导数确定新函数的单调性从而证得新不等式成立．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），直线l的参数方程为1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求MP MQ +的值．【答案】（1）直线l0y -+=；曲线C 的普通方程为22195x y +=；（2）154． 【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数t 可得直线l 的普通方程，曲线C 的参数方程变形代入22cos sin 1αα+=可得曲线C 的普通方程；（2）首先求出点M 的直角坐标，判断出点M 在直线l 上，联立直线l 与曲线C 的普通方程得到关于t 的一元二次方程，根据直线的参数方程的几何意义进行求解.【详解】（1）因为直线l的参数方程为1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得直线l0y -+=．因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），由22cos sin 1αα+=可得曲线C 的普通方程为22195x y +=．（2）因为点M 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，所以M的直角坐标为(-， 点M 的坐标满足直线l0y -+=，则点M 在直线l 上， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2822130t t +-=， 则121104t t +=-<，121308t t =-<， 故12154MP MQ t t +=-==． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的相互转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()|23||1|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）52a <.【分析】（1）分类讨论，得出使得绝对值不等式成立的不等式组，然后求解x 的范围即可；（2）()2|33|f x a x >--可化为|23||22|2x x a ++->，然后根据绝对值三角不等式可出|23||22|5x x ++-≥，进而可得25a <，最后求出a 的取值范围即可. 【详解】（1）|23||1|3x x +--≤，12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩ 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩173x ∴-≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()2|33|f x a x >--，即|23||1|2|33|x x a x +-->--，可化简为：|23||22|2x x a ++->，|23||22||23(22)|5x x x x ++-≥+--=，25a ∴<，52a ∴<. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.。