积分不等式的证明方法及其应用【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。

尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho ..lder 不等式 Gronwall 不等式Young 不等式1 引言在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如210x e dx -⎰），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1'20()f x dx ⎰），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ，()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰都是积分不等式.2积分不等式的证明方法2.1 定义法我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可.例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式10()f x dx ⎰.证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈∀,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . 设T 为区间] 1 , 0 [的n 等分.由上述不等式,有∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni nn i fnn i f 1211 1. 令∞→n , 注意到函数)(x f 和)(2x f 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 ||x 和x 的连续性，就有积分不等式1()f x dx ⎰.例2 设f 在区间[],a b 上连续，()0p x ≥，()0b ap x dx ≥⎰，且()m f x M ≤≤，()h x 在[],m M 上有定义，并有二阶导数''()0h x >，试证明：()()()(())()()()b baabbaap x f x dxp x h f x dxh p x dxp x dx≤⎰⎰⎰⎰.证 （利用积分和）将[],a b n 等分，记()i i x a b a n =+-，()i i p p x =，()i i f f x =，1,2,3i =因为''()0h x >，所以()h x 为凸函数，所以1111()()nni iiii i nniii i p fp h f h pp====≤∑∑∑∑则有1111()()nni ii i i i nni i i i b a b ap f p h f n n h b a b a p p n n ====--≤--∑∑∑∑ 令n →+∞取极限，便得欲证明的积分不等式.2.2 利用定积分的基本性质例3 设)(x f 在[],a b 上二次连续可微，()02a bf +=，试证：3()()24b a M b a f x dx -≤⎰，其中''sup ()a x bM f x ≤≤=.证 将)(x f 在2a b x +=处用泰勒公式展开，注意到()02a bf +=，则 '''21()()()()()222!2a b a b a b f x f x f x ξ+++=-+-，)(x f 的右端第一项在[],a b 上的积分为0，故''21()()()2!2bb aa ab f x dx f x dx ξ+=-⎰⎰''21()()22b a a b f x dx ξ+≤-⎰31()|62ba ab M x +≤- 3()24M b a -=，其中''sup ()a x bM f x ≤≤=.例4设函数()f x 在[]0,1连续且递增，证明：对任意()0,1k ∈，有1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰.证1 11000()()()()()kk kk k f x dx f x dx k f x dx f x dx f x dx ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 1(1)()()kkk f x dx k f x dx =-+⎰⎰ []12(1)()()k k f f ξξ=--0≥12(1)k ξξ<<<<其中0,移项即得.证2 1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰1()()()kkkf x dx k f x dx k f x dx ⇔≤+⎰⎰⎰10(1)()()kk k f x dx k f x dx ⇔-≤⎰⎰或1011()()1k kf x dx f x dx k k ≤-⎰⎰但f 在闭区间[]0,1上连续且递增，故1011()()()1k k f x dx f k f x dx k k ≤≤-⎰⎰，即 1011()()1k k f x dx f x dx k k≤-⎰⎰成立，原题获证. 2.3 利用重积分证明积分不等式把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式. 例5 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1ba f y dy =⎰，k 为任意实数，求证：()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰（*）证 （*）式左端()cos ()cos ()sin ()sin b b bba aaaf x kxdx f y kydy f x kxdx f y kydy =+⎰⎰⎰⎰[]()()()b baadx f x f y cosk x y dy =-⎰⎰()()1b baadx f x f y dy ≤=⎰⎰原式获证.2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法例 6 设函数()f x 在[]0,1上有连续二阶导数，(0)(1)0f f ==，()0f x ≠（()0,1x ∈），试证：''1()4()f x dx f x ≥⎰. 证 因()0f x ≠（()0,1x ∈），故()f x 在()0,1内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在()0,1内，与()0f x ≠矛盾），不妨设()0f x >（0<的情况类似可证），()0,1x ∈,因()f x 在[]0,1上连续，故存在[]0,1c ∈，使得01()max ()x f c f x ≤≤=，于是对任意01a b <<<有''''1100()()()()f x f x dx dx f x f c ≥⎰⎰1''''011()()()()b a f x dx f x dx f c f c =≥⎰⎰''1()()baf x dx f c ≥⎰''1()()()f b f a f c =- 下面我们来恰当地选取,a b ，得到所需的估计.注意到(0)(1)0f f ==，应用Lagrange 公式得，()'()(0)()0,,()0f c f f c c f c c ξξ-∃∈==-； ()'(1)()(),1,()11f f c f c c f c c ηη-∃∈==---. 令,a b ξη==，则''1''0()1()()()()f x dx f b f a f x f c ≥-⎰1()()1()1(1)f c f c f c c c c c =+=--因为211(1)24c c c c +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，所以''10()14()(1)f x dx f x c c ≥≥-⎰，获证. 2.5 构造变限积分的方法对于一个积分不等式，可把常数a 变为变量构造辅助函数()y F x =，再利用函数()y F x =的性质来证明积分不等式.例7 设()f x 在[]0,1上可微，且当[]0,1x ∈时，'0()1f x <<，(0)0f =，试证明：11230(())()f x dx f x dx >⎰⎰.证1 问题在于证明11230(())()0f x dx f x dx ->⎰⎰故令230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰，因(0)0F =，故只要证明在(0,1)内有'()0F x >.事实上，'30()2()()()x F x f x f t dt f x =-⎰ 20()2()()xf x f t dt f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰令20()2()()xg x f t dt f x =-⎰，故只要证明在(0,1)内有()0g x >，因(0)0g =，故只要证明在(0,1)内有'()0g x >.事实上，'''()2()2()()2()(1())g x f x f x f x f x f x =-=-，已知(0)0f =，'0()1f x <<（[]0,1x ∈），故(0,1)x ∈时，()0f x >，所以'()0g x >，故'()0F x >.证2 已知(0)0f =，'0()1f x <<（[]0,1x ∈），故(0,1)x ∈时，()0f x >所以问题在于证明12013(())1()f x dx f x dx>⎰⎰（*）令20()(())x F x f s ds =⎰，30()()xG x f s ds =⎰则（*）式左端（利用Cauchy 中值定理）有120130(())(1)(0)(1)(0)()f x dx F F G G f x dx-=-⎰⎰''()()F G ξξ=032()()()f f t dtf ξξξ=⎰ 022()()f t dtf ξξ=⎰0222()2()()(0)f t dt f t dtf f ξξ-=-⎰⎰''2()11(01)2()()()f f f f ηηξηηη==><<<2.6 其它方法证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.3 几个重要积分不等式及其应用本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨论它们的证明与应用.3.1 Schwarz 不等式及其应用3.1.1 Cauchy 不等式[ 9 ] 对任意n 个数0,1,2,3,i a i n ≥=恒有222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立.我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz 不等式. 3.1.2 定理1(Schwarz 不等式)[ 9 ]dx x g dx x f dx x g x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤)()())()((222,)(),(x g x f 在区间],[b a 上可积，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不同时为0）.证1 将],[b a n 等分，令()i ix a b a n =+-，应用Cauchy 不等式得222111(()())()()nnni i i i i i i f x g x f x g x ===≤⋅∑∑∑，则有222111111(()())()()n n n i i i i i i i b a b a b a f x g x f x g x n n n n n n===---≤⋅∑∑∑，令n →+∞得 dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤)()())()((222.证2 利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰bab ab adx x f dx x g x f t dx x g t(1)当2()0bag x dx =⎰时，因为()g x 在区间],[b a 上可积，所以2()g x 在区间],[b a 上也可积且非负，故有2()0,g x a e =⋅于E ，所以()0,g x a e =⋅于E ，继而有()()0,f x g x a e =⋅于E ，所以有()()0ba f x g x dx =⎰，命题得证，其中[],E ab =.(2)当2()0bag x dx ≠⎰时，上面方程是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰bababadx x g dx x f dx x g x f ，即：dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤)()())()((222,命题得证.证3 利用二重积分来证明Schwarz 不等式.222()()(()())bbbaaaf x dxg x dx f x g x dx -⎰⎰⎰222211()()()()()()()()22b b b b b b a a a a a a f x dx g x dx f y dy g y dy f x g x dx f y g y dy =⋅+⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22221[()()()()2()()()()]2bb aa dy f x g y f y g x f x g x f y g y dx =+-⎰⎰21[()()()()]2bb aa dy f x g y f y g x dx =-⎰⎰0≥即有dx x g dx x f dx x g x f bab a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222，由此看出若)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不同时为0）.3.1.2 Schwarz 不等式的应用应用Schwarz 不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数,f g . 例1 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1ba f y dy =⎰，k 为任意实数，求证：()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰（*）证 （*）式左端第一项应用Schwarz 不等式，得()()22()cos )baaf x kxdxkx dx=⎰⎰2()cos ()b baaf x kxdx f x dx ≤⎰⎰2()cos b af x kxdx =⎰ 同理()22()sin ()sin bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰所以()()2222()cos ()sin ()cos ()sin bbbbaaa af x kxdx f x kxdxf x kxdx f x kxdx +≤+⎰⎰⎰⎰()baf x dx ≤⎰1=例2 求证：111222222((()()))(())(())bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx +≤+⎰⎰⎰,其中)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立,,a b 不同时为0.证 222(()())()()2()()bbbbaaaaf xg x dx f x dx g x dx f x g x dx +=++⎰⎰⎰⎰11222222()()2(())(())bbbbaaaaf x dxg x dx f x dx g x dx ≤++⎰⎰⎰⎰2112222(())(())b b a a f x dx g x dx ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.3.2 Ho ..lder 不等式及其应用3.2.1 基本形式[ 1 0 ] 设,0,1,2,3,i i a b i n ≥=，',k k 为实数，且有'111k k +=，则 当1k >（从而'1k >）时，11''111nnnkk k k i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 当1,0k k <≠（从而'1k <）时，11''111nnnkk k k i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立. 3.2.2 Ho ..lder 不等式的积分形式[ 1 0 ]定理2 设(),()0f x g x ≥，并使得所论的积分有意义，,'0,1k k ≠为共轭实数（即'111k k+=），则 当1k >（从而'1k >）时，()()11''()()()()bbbk k k k aaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰当1,0k k <≠（从而'1k <）时，()()11''()()()()bbbkk k k aaaf xg x dx f x dxg x dx ≥⎰⎰⎰若,f g 连续，则其中的等号当且仅当'()()k k f x tg x ≡时成立. 证 当1k >（从而'1k >）时，令[,]E a b =.因为(),()0f x g x >，所以'()0,()0bbkk aaf x dxg x dx ≥≥⎰⎰，(1)若()0bk af x dx =⎰，又()0f x ≥，则()0k f x ≥，所以(),k f x a e =⋅于E ，故(),f x a e =⋅于E ，所以有()(),f x g x a e=⋅于E ，故()()()()0baEf xg x dx f x g x dx ==⎰⎰，原式得证.同理'()0bk ag x dx =⎰时，原式可证.（2）若()0bk af x dx ≠⎰，'()0bk ag x dx ≠⎰，令()1()()()k kEf x x f x dxϕ=⎰，()''1()()()k k Eg x x g x dxψ=⎰，因为有''k kA B AB k k≤+（此式见本文第13页例8）,令(),()A x B x ϕψ==，则得''()()()()k k x x x x kk ϕψϕψ≤+''''()()()()k k k k EEf xg x k f x dxkg x dx=+⎰⎰所以'11()()1Ex x dx k kϕψ≤+=⎰，()()'11()()1()()E k k kk EEf xg x dx f x dxf x dx⇒≤⎰⎰⎰()()11''()()()()bbbkk kk aaaf xg x dx f x dx g x dx ⇒≤⎰⎰⎰.当1,0k k <≠（从而'1k <）时，因'(1)0k k k +-=，则()()''1(1)()()()()()()kbbbkkkk k k k aaaf x dx f x gx dx f x g x gx dx -+-==⎰⎰⎰()1'()(()())()kbbbkkk aaaf x dx f xg x dx g x dx -⇒≤⋅⎰⎰⎰()()()()'1111''()()()()()()k bbbbbkkkk k k k k aaaaaf xg x dx f x dxg x dxf x dxg x dx-⇒≥=⎰⎰⎰⎰⎰所以有()()11''()()()()bbbkk kk aaaf xg x dx f x dx g x dx ≥⎰⎰⎰.在上述两种情况中，等号当且仅当'()()k k f x tg x ≡时成立. 3.2.2 Ho ..lder 不等式的应用 例3 试证明：3sin cos 20(0)4xxxadx adx a πππ-⋅≥>⎰⎰.证 令2x t π=+，sin cos 20xt xadx a dt πππ=⎰⎰于是sin cos cos cos 2220000xxtx xadx adx adt a dx πππππ--⋅=⋅⎰⎰⎰⎰2cos cos 2220t ta dt ππ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎰24ππ=⋅34π=例5 设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1'20()1f x dx ≥⎰.证 在Ho ..lder 不等式中取'2k k ==，则()()()111111222'2'220()()1f x dxf x dxdx=⋅⎰⎰⎰11''01()()f x dx f x dx ≥⋅==⎰⎰(1)(0)1f f -=故有1'20()1f x dx ≥⎰3.3 Gronwall 不等式及其应用3.3.1 Gronwall 不等式[2]定理3 设k 为非负常数，(),()f t g t 为区间[],a b 上的连续非负函数，且满足不等式 ()()()taf t k f sg s ds ≤+⎰，[],t a b ∈，则有()()exp()t af t kg s ds ≤⎰，[],t a b ∈.证1 当0k ≠时，令()()()t at k f s g s ds ϕ=+⎰，则()t ϕ在[],a b 上恒正且可导，则'()()()()()t f t g t g t t ϕϕ=≤，则'()()()t g t t ϕϕ≤'()()()t t aa s ds g s ds s ϕϕ⇒≤⎰⎰， ln ()ln ()()ta t a g s ds ϕϕ⇒-≤⎰()()exp()b af t kg s ds ⇒≤⎰；当0k =时，()()()t af t f sg s ds ≤⎰，[],t a b ∈0ε∀>，()()()tat f s g s ds ϕε=+⎰，则有()()exp()t af tg s ds ε≤⎰由ε的任意性知，()()00exp()taf tg s ds ≤=⋅⎰，原式得证.证2 令()()()t at f s g s ds ϕ=⎰， ()()exp ()tat g s ds ψ=-⎰则()0a ϕ=，()1a ψ=且()t ϕ在[],a b 上可导，'()()()(())()t f t g t k t g t ϕϕ=≤+'()()()()t t g t kg t ϕϕ⇒-≤'()()()()()()t t g t t kg t t ϕϕψψ⎡⎤⇒-≤⎣⎦对上式两边取积分得，'()()()()()()t taa s s g s s ds kg s s ds ϕϕψψ⎡⎤-≤⎣⎦⎰⎰()()0()()exp(())tat t k t k t k k g s ds ϕψψϕ⇒-≤-+⇒≤-+⎰()()exp(())exp(())t taaf t t k k k kg s ds k g s ds ϕ⇒≤+≤-+=⎰⎰，原式得证.3.3.2 Gronwall 不等式的应用下面我们来看一下Gronwall 在证明一阶线性微分方程的惟一性时的应用. 例 6 设积分方程00(,())xx y y f y d ξξξ=+⎰在区间[]00,x x h +上存在连续解，且(,)f x y 关于y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y k y y -≤-，证明这个连续解()x ϕ是惟一的.证 设此方程还有一连续解()x ψ.现在取00()x y ϕ=，构造皮卡逼近函数序列如下：00001()()(,())x nn x x y x y f d ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ ，[]00,x x x h ∈+，1,2,3n =则00()(,())x x x y f d ϕξϕξξ=+⎰，00()(,())xx x y f d ψξψξξ=+⎰()()(,())(,())xxx x x x f d f d ϕψξϕξξξψξξ-=-⎰⎰0(,())(,())xx f f d ξϕξξψξξ≤-⎰()()xx k d ϕξψξξ≤-⎰应用Gronwall 不等式得()()0x x ϕψ-≤，则有()()x x ϕψ≡，即连续解()x ϕ是惟一的.3.4 Young 不等式及其应用著名的不等式还有很多，我们不准备一一介绍，最后，我来绍一个在证法上有特点的Young 不等式. 3.4.1 Young 不等式[ 1 0 ]定理4 设()f x 递增，连续于[)0,+∞，(0)0f =，,0a b >，1()f x -表示()f x 的反函数，则10()()abab f x dx f y dy -≤+⎰⎰，其中等号当且仅当()f a b =时成立.该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情况，如下图所示，这时0()a OABO f x dx S =⎰，10()bOCEO f y dy S -=⎰，OADEO ab S =，其中OCEO S 表示图形OCEO 的面积.(1)(2)(3)()b f a = ()b f a < ()b f a >证 01我们证明()10()()()af a f x dx f y dy af a -+=⎰⎰①因为()f x 递增，连续于[]0,a 上，故1f -递增，连续于[]0,()f a 上.故①式有意义.将[]0,a n 等分，记分点为0120n x x x x a =<<<<=，相应的点为()i i y f x =，（1,2,3,i n =）构成[]0,()f a 上的一个分划：0120()n y y y y f a =<<<<=，因为()f x 在[]0,a 上连续，故在[]0,a 上一致连续.故n →+∞时，对于分划0120()n y y y y f a =<<<<=来讲，有11111max max()max(()())0i i i i i ni ni ny y y f x f x --≤≤≤≤≤≤∆=-=-→()n →+∞，故()111011()()lim ()()n naf a i i i i n i i f x dx f y dy f x x f y y ---→∞==⎡⎤+=∆+∆⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰()11111lim ()()(())()()ni i i i i i n i f x x x f f x f x f x ----→∞=⎡⎤=-+-⎣⎦∑()1111lim ()()()()ni i i i i i n i f x x x x f x f x ---→∞==-+-⎡⎤⎣⎦∑[]111lim ()()ni i i i n i f x x x f x --→∞==-∑[]00lim ()()n n n f x x x f x →∞=-()0(0)()af a f af a =-⋅=， ①式获证.2由①式可知，若()b f a =，则10()()a bab f x dx f y dy -≤+⎰⎰中等号成立.03若0()b f a <<，则由f 的连续性知，存在()00,x a ∈，使得0()f x b =，于是00()110()()()()()abx af x x f x dx f y dy f x dx f x dx f y dy --+=++⎰⎰⎰⎰⎰00()10(()())()x f x a x f x dx f y dy f x dx -=++⎰⎰⎰00000()()()()f x a x f x x af x ab >-+==04()b f a >时，只要把f 看作是1f -的反函数，就可由03的结论得到.05 联系02，03，04可知定理成立.3.4.2 Young 不等式的应用例7 证明当,1a b >时，不等式1ln a ab e b b -≤+成立.证 令()1x f x e =-，则f 单调递增且连续，1()ln(1)f y y -=+ 因,1a b >，应用Young 不等式可得1110(1)(1)()()a b a b f x dx f y dy -----≤+⎰⎰⇒1ln a ab e b b -≤+.例8 设,0a b >，1p >，111p q +=，试证：p qa b ab p q≤+.证 设1()p f x x -=，则f 单调递增且连续，11()q f x y --= 因1p >，应用Young 不等式可得100()()p qaba b ab f x dx f y dy p q-≤+=+⎰⎰，且等号当且仅当()f a b =即p q a b =时成立。