* * * * 大学 * * 学院毕业论文（设计）（ * 届）题目：关于积分不等式的证明院（系、部）：数学系专业：数学与应用数学姓名： ****学号 ********指导教师：**********大学**学院教务处制摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。

研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。

本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。

关键词：积分不等式；单调性；施瓦茨不等式；拉格朗日中值定理；Taylor公式；凹凸性；二重积分。

Abstract：Integral inequality is a kind of important inequality in the calculus，which is broadly used in mathematical analysis and usually appears inPostgraduate examinations. The study of integral inequality can help us not onlysolve some integral inequality of equation, but also put the primary mathematicsknowledge and higher mathematics knowledge together to broaden our horizonsand improve our ability of thinking and innovation. The purpose of this paper isto discuss the proving of the Integral inequality from the following aspects: bythe use of the monotonicity of function, Schwarz inequality, Lagrange meansvalue theorem, integral mean value theorem, Taylor formula, concavo convexcharacteristic of function, double integral and so on.Key words: Integral inequality; monotonous; Schwarz inequality; Lagrangemean value theorem; Taylor formula; concavo-convex characteristic; doubleintegral.目录1. 利用单调性来证积分不等式 (4)1.1函数单调性的有关概念 (4)1.2 函数单调性在证明积分不等式上的相关应用 (4)2. 利用施瓦茨不等式来证积分不等式 (4)2.1施瓦茨不等式的有关概念 (4)2.2施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用 (5)3. 利用拉格朗日中值定理来证积分不等式 (5)3.1拉格朗日中值定理 (5)3.3拉格朗日中值定在证明积分不等式上的相关应用 (6)4. 利用积分中值定理来证积分不等式 (6)4.1 积分中值定理的有关概念 (6)4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用 (7)5. 利用Taylor公式来证积分不等式 (7)5.1Taylor公式的有关概念 (8)5.1.1带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式 (8)5.1.2带拉格朗日余项的泰勒公式 (8)5.2 Taylor公式在证明积分不等式上的相关应用 (8)6. 利用函数的凹凸性来证积分不等式 (10)6.1 函数的凹凸性的有关概念 (10)6.2 函数的凹凸性在证明积分不等式上的相关应用 (10)7. 利用二重积分来证积分不等式 (11)7.1 二重积分的有关概念 (11)7.2 二重积分在证明积分不等式上的相关应用 (11)8.结论 (12)9.谢辞 (13)10.参考文献 (14)绪论积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。

对积分不等式证明方法的介绍，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。

目前国内的本课题研究比较普遍，主要是研究如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明。

文献[6]中作者举了七种常用的证明积分不等式的方法。

文献[7]中作者主要用构造辅助函数和Taylor展开式来证明积分不等式,此方法为解决一些难度较大的积分不等式提供了不少帮助。

本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。

1.利用单调性来证积分不等式1.1 函数的单调性的有关定理［1］定理 1 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增(递减)的充要条件是''()0(()0)f x f x ≥≤。

［1］定理2如果可导函数 ()f x 在(,)a b 内递增(递减)且()0f a =,则()0(()0)f x f x ≥≤((,))x a b ∈。

1.2 函数的单调性在证明积分不等式上的应用例1若)()(x g x f 、在[,]a b 上可积，则⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222证：将b 改写为x ，并设()()dt t g dt t fdt t g t f x F xa xa x a ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)()()(，()()()()()()()()()dt t f x g dt t g x f x g x f dt t g t f x F x axax a⎰⎰⎰--⋅=2222'2= ()()()()()()()()dt t f x g t g x fx g x f t g t f xa 2222--⎰=()()()()dt t g x f x g t f x a2)(--⎰ 0≤从而知)(x F 为减函数，于是有)()(a F b F ≤，又)(a F =0，所以0)(≤b F 因此有⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为)(x F ，再验证)(x F 的单调增减性。

2利用施瓦茨不等式来证积分不等式2.1 施瓦茨不等式的有关概念定理［10］定理3 若)()(x g x f 、在[,]a b 上可积，则⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222，其中等号当且仅当存在常数βα、，使得)()(x g x f βα=时成立（βα、不同时为零）［1］定义1:称⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222为施瓦茨不等式 注：应用施瓦茨不等式证明积分不等式时要注意恰当地选取函数)(x f 与)(x g 。

2.2 施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用例2 已知0)(≥x f ，在[],a b 上连续，1)(=⎰dx x f ba，k 为任意实数，求证：1sin )(cos )(22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx kx x f dx kx x f ba b a （1）证：（1）式左端第一项应用施瓦茨不等式=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰2cos )(dx kx x f ba ()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2cos )()(dx kx x f x f ba⎰⎰⋅babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )( （2）同理⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba b a kxdx x f kxdx x f 22sin )(sin )( （3）（2）+（3）即得式（1）。

3.利用拉格朗日中值定理来证积分不等式3.1 拉格朗日中值定理［1］定理4: 设函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[],a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。

注：称()()()f b f a f b aξ-'=-为拉格朗日公式注：拉格朗日公式有如下等价的表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-(2) ()()()()(),01f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<(3) ()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<<3.2 拉格朗日中值定理在证明积分不等式上的相关应用利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论。

例3 设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且'()0,()f a f x M =≤，试证22()()baf x M b a ≤-⎰证： 由拉格朗日中值定理知'()()()()f x f a f x a ξ-=-由()0f a =有()f x ='()()()x a f x a M ξ-≤-于是2()()()2bbaa b a f x dx x a Mdx M -≤-=⎰⎰，因此22()()baf x dx M b a ≤-⎰注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来证积分不等式.4. 利用积分中值定理来证积分不等式4.1 积分中值定理的有关概念［6］定理5（积分第一中值定理）设()f x 在[],a b 上连续，()g x 在[],a b 上可积且不变号，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，当()1g x =时，存在[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰［6］定理6（积分第二中值定理）（1）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()bba f x g x dx fb g x dx ξ=⎰⎰（2）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()baaf xg x dx f a g x dx ξ=⎰⎰（3）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx f a g x dx f b g x dx ξξ=+⎰⎰⎰4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用例4 证明24arctan 99xdx ππ≤≤分析：arctan x x 积分不好积，如果把arctan x 从积分号里拿到外面，积分就容易了，因此用积分中值定理。