积分不等式的证明一、证明常用的性质性质1 函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和⎰⎰⎰+=+baba badx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121其中21,k k 都是常数。

性质2 如果在区间],[b a 上1)(=x f ,则⎰⎰-==babaa b x d x d )()(·1。

性质3 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则⎰<≥bab a dx x f )(0)(。

性质4 如果在区间 ],[b a 上有)()(x g x f ≥则⎰⎰<≥babab a dx x g dx x f )()()(性质5)()()(b a dx x f dx x f baba<≤⎰⎰性质6（估值定理） 如果M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值和最小值，则有)(,)()()(b a a b M dx x f a b m ba <-≤≤-⎰。

性质7 如果函数)(x f 在区间上可积，c 是],[b a 内的一点)(b c a <<,则函数)(x f 在],[c a 及],[b c 上也可积，并且⎰⎰⎰+=bacacbdx x f dx x f dx x f )()()(。

性质7 的证明：对于],[b a 的任意划分，在插入一个分点c ，得到一种新的分划。

在这些心的分划中，点c 永远是一个分点，因而有i b c i c a i i i b a i x f x f x f ∆+∆=∆∑∑∑)()()(),(),(),(ξξξ令0→λ，上式两端同时取极限，就得到⎰⎰⎰+=b acabcdx x f dx x f dx x f )()()(。

积分中值公式 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在点ξ，使得⎰≤≤-=ba b a a b f dx x f )(),)(()(ξξ。

证明: 因为)(x f 在闭区间],[b a 上连续，故在],[b a 上可积，且有最大值M 及最小值m ，即)()(b a M x f m ≤≤≤≤ξ于是，由定积分的估值定理，有⎰<-≤≤-ba b a a b M dx x f a b m )(),()()(注意a b ≠,将上面各式除以a b -,得⎰≤-≤baM dx x f a b m )(1可见确定的数值⎰-=badx x f a b )(1μ介于连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上最大值M 与最小值m 之间。

根据闭区间上连续函数的介值定理，在],[b a 上至少存在一点ξ，使得μξ=)(f ，即⎰≤≤-=ba b a dx x f ab f )(,)(1)(ξξ 亦即 ⎰≤≤-=b ab a a b f x f )(),)(()(ξξ这个公式叫做积分中值公式（积分第一中值定理），)(ξf 叫做函数)(x f 在区间],[b a 上积分平均值。

性质8 若g f ,都在],[b a 上可积，则g f ⋅在],[b a 上也可积。

性质9 ⎰⎰-=baabdx x f dx x f )()(特别的⎰=adx x f a0)（。

性质10 （积分第二中值定理）：若)(x f 是],[b a 上单调函数，)(x g 为可积函数，则],[b a ∈∃ξ，使得⎰⎰⎰+=baabdx x g b f dx x g a f dx x g x f ξξ)()()()()()(。

性质11 (柯西不等式)⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222牛顿—莱布尼兹公式（重要公式）若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 为)(x f 的一个原函数， 即],[),()(b a x x f x F ∈=',且 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()(变限积分 设)(x f 在],[b a 上可积，对于任给],[b a x ∈,)(x f 在],[x a 和],[b x 上均可积，分别称⎰xadt t f )(和⎰bxdt t f )(为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分。

若f 在],[b a 上连续，则其变限积分作为关于x 的函数，在],[b a 上处处可导，且)())(()())((x f dt t f dxd x f dt t f dxd bxx a-==⎰⎰，更一般的有)()]([)()]([)()()(x h x h f x g x g f dt t f dxd x g x h '-'=⎰ 二、积分不等式的证明例1．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明： (1)|)(|max 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰(2) dx x f a b dx x f baba222])([2)()(⎰⎰'-≤分析：(1)该不等式实际上给出了左边积分的一个界。

若令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，则有M x f ≤'|)(|，即给出了导数的界，再加条件0)(=a f ，估计出],[),(|)(|b a x a x M x f ∈-≤，进而估计出积分的界。

(2)不等式两边分别有)(x f 和)(x f '，而等式)()()(00x f dx x f x f xx +'=⎰可将两者联系起来，这里0x 要根据具体问题具体选择，本题中容易想到a x =0。

证明：(1)令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，由积分中值定理知))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ从而 ],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ 所以 M a b dx a x M dx x f dx x f bababa2)()(|)(||)(|2-=-≤≤⎰⎰⎰(2) ⎰⎰'=+'=xaxadt t f a f dt t f x f )()()()(，则⎰⎰⎰'≤'=xa xa xadt t f dt dt t f x f 222)]([1])([)(dx x f a b ba22])([2)(⎰'-≤故⎰⎰⎰-'≤ba ba badx a x dt t f dx x f )()]([)(22dx x f a b b a22])([2)(⎰'-≤例2．比较定积分⎰10dx e x 与⎰+1)1(dx x 的大小。

解：(用性质3)设x e x f x --=1)(,我们只需判别)(x f 在]1,0[的正负号， 因 01)(≥-='x e x f ，0)0(=f ,故0)(≥x f 。

所以⎰10dx e x >⎰+1)1(dx x 。

例3.设函数)(x f y =定义在区间],[b a 上，且对于区间],[b a 上任意二点1x ，2x ，有2121)()(x x x f x f -≤-。

证明，（1） 对于),(b a 内每一点，)(x f 是连续函数；（2） 如果)(x f 在],[b a 上可积，则2)(21)()()(a b x f a b dx x f ba-≤--⎰。

证明：（1）任给),(b a x ∈,由题设知.)()(x x f x x f y ∆≤-∆+=∆于是当0→∆x 时，0→∆y ，故)(x f 连续。

(2)当a x ≥时，有a x a x a f x f -=-≤-)()(，即)()()()()(a x a f x f a x a f -+≤≤--。

两边积分，可得⎰⎰⎰-+≤≤--b ababadx a x a f dx x f dx a x a f )]()([)()]()([即⎰-≤--≤--b a a b a f a b dx x f a b 2)()()()(2)(22 故有2)()()()(2a b a f a b x f ba-≤--⎰。

例4．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ],[x f M b a x ''=∈，证明：3)(24|)2()()(|a b Mb a f a b dx x f ba-≤+--⎰ 方法1：由泰勒公式有2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ两边在],[b a 上积分并注意到⎰=+-b a dx ba x 0)2(得⎰⎰+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2)2)((21)2()()(ξ， 从而得24)()2(2|)2)((|21|)2()()(|322a b M dx b a x Mdx b a x f b a f a b dx x f ba b a b a-=+-≤+-''=+--⎰⎰⎰ξ方法2：令⎰=x adt t f x F )()(，则)()(),()(),()(x f x F x f x F x f x F ''=''''=''='且 )()()(a F b F dt t f ba-=⎰（牛顿-莱布尼兹公式），由泰勒公式有：312)2(6)()2)(2(212)2()2()(a b F a b b a F a b b a F b a F b F -'''+-+''+-+'++=ξ （1）322)2(6)()2)(2(212)2()2()(b a F b a b a F b a b a F b a F a F -'''+-+''+-+'++=ξ （2）由（1）-（2）得))()((48)())(2()()(213ξξF F a b a b b a F a F b F '''-'''-+-+'=-所以 3213)(24|)()(|48)(|))(2()(|a b Mf f a b a b b a f dx x f ba-≤''-''-=-+'-⎰ξξ例5.设)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当y x <时，)()(y f x f >） 证明:对于10<<<βα,有下面的不等式成立⎰⎰≥αβαβα)()(dx x f dx x f 。