]常用逻辑用语习题及答案1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论进行否定．∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.)【答案】A2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0，有a＝1或a＝2，即(a－1)(a－2)＝0 a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．【答案】A—3.(2011·湖北高考)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，∴a＋b≥0且a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，因此ab ＝0且a ＋b ≥0.∴a ≥0，b ≥0且ab ＝0，“a 与b ”互补． 则φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充分条件．!显然a ≥0，b ≥0，且ab ＝0时，有a 2＋b 2＝(a ＋b )2，∴φ(a ，b )＝a 2＋b 2－(a ＋b )＝a ＋b －(a ＋b )＝0，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a . 当a ＝1时，1＜x ＜3，)又⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3.由p ∧q 为真．∴x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ≤3，1＜x ＜3.即2＜x ＜3.所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知q 是p 的充分不必要条件，由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}， ∴B A .*因此a ≤2且3＜3a .所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．5.已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 化简，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．!因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.故a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．6.(2011·山东高考)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 ￥【解析】 由y ＝f (x )是奇函数⇒y ＝|f (x )|是偶函数；但y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称y ＝f (x )为奇函数．∴“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的必要不充分条件，选B.7．(2011·陕西高考)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b8．(2011·浙江高考)设a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的( )*A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 ∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号，且ab ＜1. ∴当a ＞0，b ＞0时，b ＜1a ；当a ＜0，b ＜0时，b ＞1a.∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的不充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b ＜1a，但不能推出0＜ab ＜1，∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的不必要条件9．(2011·辽宁高考)已知命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1 000，则¬p 为( )（A ．∀n ∈N ，2n ≤1 000B ．∀n ∈N ，2n ＞1 000C ．∃n ∈N ，2n ≤1 000D ．∃n ∈N ，2n ＜1 000【解析】 由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p 为∀n ∈N ，2n ≤1 000. 【答案】 A10．(2012·郑州一中月考)已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(2，3)D ．(2，4)【解析】由p是假命题可知，∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立，—故Δ＝4a2－4a＜0，解之得0＜a＜1.【答案】A11.(2012·南京模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)【思路点拨】由2ax0＋b＝0，知f(x)在x＝x0处取得极小值，从而做出判断．【解析】由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b.依题意f′(x0)＝0，]又a＞0，所以f(x)在x＝x0处取得极小值．因此，对∀x∈R，f(x)≥f(x0)，C为假命题．【答案】 C12.(2011·中山模拟)设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由N是M的真子集，则“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故选B.答案：B~13.(2009·天津)命题“对任意x∈R,2x>0”的否定是 ( )A.不存在x0∉R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0C.存在x0∈R,2x0≤0 D．对任意x∈R,2x≤0解析：全称命题的否定为特称命题，“对任意x∈R,2x>0”的否定是“存在x0∈R,2x0≤0”．答案：C14.(2010·全国新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x 在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是 ( )A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4·关键提示：先判断出p1，p2的真假，然后再进行相关的判断．解析：因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，易知p1是真命题，p2是假命题，故q1，q4是真命题．答案：C15.[2011·湖南卷。

设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件(【解析】当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.16 [2011·天津卷] 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.17.[2011·天津卷] 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件—B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{x ∈R | x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，∴A ∪B ＝{x ∈R |x <0或x >2}．又∵C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}＝{x ∈R |x <0或x >2}， ∴A ∪B ＝C ，即“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充分必要条件．18．（2012年高考（辽宁理））已知命题p :∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是（ ）A ．∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0￥B ．∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<019．（2012年高考（湖南理））命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 （ ） A ．若α≠4π,则tanα≠1 B ．若α=4π,则tanα≠1 C ．若tan α≠1,则α≠4π D ．若tanα≠1,则α=4π【解析】因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,所以 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.【答案】C'【点评】本题考查了“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.20．（2012年高考（湖北理））命题“0x ∃∈RQ ,30x ∈Q ”的否定是 （ ）A ．0x ∃∉RQ ,30x ∈Q B ．0x ∃∈RQ ,30x ∉QC ．x ∀∉RQ ,3x ∈QD ．x ∀∈R Q ,3x ∉Q 考点分析:本题主要考察常用逻辑用语,考察对命题的否定和否命题的区别. 解析:根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定.因此选D 221．（2012年高考（福建理））下列命题中,真命题是 （ ）。