②如果
p
1
,
而
lim
n
n
pun
l0 l
则级数 un 收敛。
n 1
例５．判定级数
n 1
ln
1
1 n2
的收敛性。
例６．判定级数
n1
n
1
1
cos
n
的敛散性。
例7．判别下列正项级数的敛散性
ln n
n1 2n3 1
例8．判别正项级数
n1
1 n 0
sin 1
x
x3 dx
的敛散性。
4．定理4（比较审敛法，达朗贝尔判别法）
第十二章 无穷级数 §1２－１常数项级数的概念和性质 例1．无穷级数
aqn a aq aq2 L aqn L
n0
叫做等比级数(又称为几何级数),其中
a 0, q 叫做级数的公比,试讨论该
级数的收敛性。
例2.判别下列各级数的收敛性
1
n1
n
n1！,
2
n1
ln
1
1 n
.
1
例3．证明：调和级数
n!xn
n0
例４．求幂级数 的收敛域。
n1
n
2n 2
x 1
n
例５．求幂级数
的收敛半径。 例6．求幂级数
n0
2n! n!2 x
2n
n 1 n 2nx2n
n1
的收敛域。
例7．求幂级数 的收敛域。
x 1n
n1 2n.n
例8．求幂级数
的收敛域。
1
x
1
n
n1 n x
四、幂级数的和函数的性质
f x 1 xln1 x
展开成 x 的幂级数。
例8．将函数 sin x 展开成 x
4
的幂级数。
例9．将函数
f
x
x2
1 4x
3
展开成 x 1 的幂级数。
例10．将
f x x arctan x ln 1 x2
x 展开为 的幂级数。
例11．求级数 的值。
2n 1 2n
n0 n!
n1
2n
例1２．判别下列正项级数的敛散性
2n
1
3ln n
n1
,
2
n1
nn 2n
bn
1n
b 0
例1３．判别交错级数
n
1
1
e
1 n
1
n1
的敛散性。
例1４．设正项数列 an 单调减少，
且
n1
n
1 an 发散，试问
1 n
n1
an
1
是否收敛，并说明理由。
例1５．判别级数 sin n n2 n1
xI
逐项积分后所得到的幂级数和原级数 具有相同的收敛半径。
３．性质３ 幂级数 an xn 的和函 n0
数 S x 在其收敛区间 R, R 内可
导，且有逐项求导公式。
S
x
'
an
xn
an xn
'
nan xn1
x R
n0
n0
n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有 相同的收敛半径。
1．性质１ 幂级数 an xn 的 n0
和函数 S x 在其收敛域 I 上
连续．
２．性质２ 幂级数 an xn 的和 n0
函数 S x 在其收敛域 I 上可积，
并有逐项积分公式。
x S
0
x dx
x 0
n0
an
xn
dx
n0
x 0
an xndx
n0
an n 1
xn1
1 1.2 1.2.3 L n! L
10 102 103
10n
的收敛性。 。
5．定理5（根值审敛法，柯西判别法）
设
un
为正项级数，如果
n 1
lim n
n
un
，
则当
<1
时级数收敛，
1
或lim n n
un
时级数发散， 1 时级数可能收敛，
也可能发散。
例11．判定级数 的收敛性
2 1n
x 展开成 的幂级数。
例2．将函数 f x sin x
x 展开成 的幂级数。
a x 例３．将函数 x 展开成 的幂
级数 a 0 。
x 例４．将函数 cos x 展开成
的幂级数。
x 1
例５．将函数 1 x2 展开成 的
幂级数。 例6．将函数
f x ln1 x
x 展开成 的幂级数。
例7．把函数
设 un为正项级数，如果 lim
un1
, 则当
1
n 1
u n n
时级数收敛；
1
或
lim
n
un1 un
时级数
发散； =1 时级数可能收敛也可能
发散。
例9．证明级数
11 1 1 L 1 1.2 1.2.3
n
1
1!
L
是收敛的，并估计以级数的部分和
Sn 近似代替和S所产生的误差。
例10．判定级数
由此性质不难得知幂级数 an xn n0
的和函数 S x 在其收敛区间 R, R
内具有任意阶导数。
例9．求幂级数 的和函数。
xn
n0 n 1
例10．求幂级数 n n 1xn n1
的和函数。
例11．求级数 的和。
2n 1
2n
n1
§1２－4 函数展开成幂级数
例1．将函数 f x ex
n0 n!
1! 2!
n!
收敛。
例２．证明级数
1
n1 n n 1
是发散的。
(2)推论：设 un和vn 都是正项级数，
n1
n1Leabharlann 如果级数 vn 收敛，且存在正整数N， n 1
使当 n N时有un kvn k 0 成立，则级
数 un 收敛，如果级数 vn发散，且当
n 1
n 1
n N时有un kvn k 0 成立，则级数
的收敛性。
例１6．判别级数
n1
n
1
1 2n
1
1 n
n2
的敛散性。
例１7．判别级数
n1
1
e
1 n
1
n1
的敛散性。
§1２－3 幂级数
例１．求幂级数
x x2 x3 L 1 n1 xn L
23
n
的收敛半径与收敛域。
例２．求幂级数
1 x 1 x2 L 1 xn L
2!
n!
的收敛域。
例３．求幂级数 的收敛半径。
un
n 1
发散。
例３．讨论Ｐ一级数
1 1 1 1 L 1 L
np
n1
2p 3p
np
的收敛性，其中常数 p 0 。
3、定理3 （比较审敛法的极限形式）
（1）定理 设 un和vn 都是正项级数，
n1
n1
①如果
lim un l 0 l
v n n
且级数 vn n 1
收敛，则级数 un 收敛。
n 1
②如果
lim un l 0或 lim un =+
v n n
v n n
且级数
vn 发散，则级数 un 发散。
n 1
n 1
例４． 判定级数 的收敛性。
1 sin n1 n
(2)推论（极限审敛法） 设
un 为
正项级数
n 1
① 如果
lim
n
nun
l
0
或
lim
n
nun
则级数 un 发散。 n 1
n1 n
是发散的。
§1２－２常数项级数的审敛法 2．定理2（比较审敛法）
（1）定理
设
un和 vn
都是正项级数，且
n1
n1
un vn n 1, 2,L 若级数 vn 收敛，
则级数
n 1
un
收敛，反之，若级数
un
n 1
n 1
发散，则级数
vn
发散。
n 1
例１．证明正项级数
1 1 1 1 L 1 L