22
18 用水平面作辅助面求共有线。 16 16 推论：二平面上相同等高线的交点是二平面 14 的共有点，二共有点的连线是二平面的共有线 ——交线。
例5、求已知两平面的交线
a
P
Q
b
14 8 8
16 14
例6、求作基坑的开挖线及坡面 交线，并画出示坡线。已知挖 方坡度均为1∶1。
-2.00
坡脚线——填方时，建筑物 与地面的交线 开挖线——挖方时，建筑物 与地面的交线 坡面交线——建筑物相邻两 坡面的交线 示坡线——在高处等高线上 用以表示平面倾斜方向的一系 列长短线。
0.00
0
1
2
3
4
5
m
例6、求作基坑的开挖线及坡面 交线，并画出示坡线。已知挖 方坡度均为1∶1。
1:1
1:1
开挖线
1:1
- .00 - 22 . 0 0
坡面交线
1:1
1:1
1:1
0.0 0.00
0 0 1 1 2 23 34
示坡线
5 4m 5
m
§14.3
曲面的标高投影
H4 H3 H2 H1
一、曲面表示方法 用一系列的水平面与 曲面相截，曲面与水平面 交线即为等高线，等高线 的标高投影。 在工程中，最常见的 曲面有：圆锥面、同坡曲 面、地形面。
a8.4
c
b2.4
HAC=iAC*LAC=1/3*12=4
Hc=8.4-4=4.4
3、直线的实长和整数标高点
（1）直线的实长和倾角——直角三角形法
（2）直线上的整数高程点——定比分割原理
例4：已知直线AB的标高投影a3.4b6.7，求直线 B 上各整数标高点。
E
D
C A
b6.7 e6 d5
a3.4
H
B
A a
a
b
例3：求图中所示直线AB的坡度和平距，并求 出直线上点C的标高。
解：
（1）计算高差H、水平距离L HAB=8.4-2.4=6 LAB=18 （2）计算坡度i、平距l i=HAB/LAB=6/18=1/3 l=LAB/HAB=18/6=3 （3）计算Hc iAC=HAC/LAC
0 2 4 6 8 10
⑴
直线的水平投影并加注直线上两点的高程
⑵
直线上一个点的高程投影并加注直线的坡度和方向
例1：求图中所示直线AB、CD、EF的标高投影。
E B A a
H
C
D
0 1 2 3 4
H
b
F c
d
a2
b4
e5 f 0 c-2
d-2
例2：用坡度和方向表示图中直线AB的标高投影。
B A a
H
b
H
0 1 2
i=3:5
Pi
22 20 18 16 14
3、一条等高线和平面的坡度表示平面 ：
根据前述特性，等高 线与最大坡度线垂直，且 等高线互相平行，根据坡 度和平距即可求得平面上 的等高线。
4、一条斜线和坡度表示平面:
a４
分析：图中没有绘出等高 线，坡向也是假定的（大致坡 向），由图知，B点的高程是 零，由此可知该平面上高程为零 的等高线必通过b0点，且与a4的 水平距离：L=4m 作图：以a4为圆心，R=4m为 半径，过b0点作直线与圆弧相切, 切点为C0，直线C0b0为该平面上 高程为零的等高线。
4
3 2
3 2
d5
a5
三、地形面
假想用一组高差相等的水平面截割地面，便得到一组 高程不同的等高线（实际中等高线是用测量的方法绘制）， 画出这些等高线的水平投影并标明它们的高度，即得到地 形面的标高投影，工程上把这种图形称为地形图。
地形图上等高线特性：
① 等高线是不规则的曲线； ② 等高线一般是封闭曲线； ③ 除悬崖峭壁外，等高线 不相交； ④ 等高线的疏密反映地形 的陡缓。
A
一、点的标高投影
在点的水平投影旁， 标注出该点距离水平投 影面H的高程数字。 A点距离H面上方4m， B点距离H面下方3m， 所以A点的高程H=4m， B点的高程高程H=－3m。 注：标高投影中必须 标明比例或附有比例尺。
a4 a H
c0 c b -3 b
0
1
2
3
4 B
二、直ห้องสมุดไป่ตู้的标高投影
1、直线表示法
4
3
2
1
H0 5 H4 H3 H2 H H
1 0
2
1
0
1:
2
1:
2
绘制圆锥面等高线的方法
已知弧线是圆锥面上一条等高线的一部分，求做其 他等高线。
R O 15 14
0
1
2
3
4
例6、在高程为2米的地面上修筑一高程为6米的平台， 台顶顶形状为中间为半圆，两侧为直线。边坡的坡度为中 间5:3，两侧1:1。求坡脚线及坡面交线。比例1：10
b3
3
4
2、直线的坡度和平距
⑴坡度 ：直线上任意两点的高差与其水平距离之比 称为该直线的坡度，用符号i表示。 坡度(i)=高差(H)/水平距离(L)=tanａ ⑵平距：当两点间的高差为1个单位时它的水平距离称 为平距。 平距(l)=水平距离(L)/高差(H)=cotａ 由此可见：坡度=1 /平距 i i=3：5 l=5：3
6.00
1:1
1:0.6
1:1
2.00
例6、在高程为2米的地面上修筑一高程为6米的平台， 台顶顶形状为中间为半圆，两侧为直线。边坡的坡度为中 间5:3，两侧1:1。求坡脚线及坡面交线。比例1：10
6.00
1:1
1:0.6
1:1
2.00
二、同坡曲面 表面各处的坡度都相等的曲面。
7
c7
6
b7
5
5 4
H5 H4 H3
二、圆锥面
1、等高线是同心圆。 2、等高线之间的水平距离相等 （等距同心圆）。 3、圆锥正立时，越靠近圆心， 高程数值越大；圆锥倒立时，高 程数值越小。 4、圆锥面上的素线对H面有相 同的坡度，而素线的坡度就是圆 锥面的坡度，示坡线要通过圆锥 顶（即圆心）画出。
4
3
H2 H H
1 0
第十四章
标高投影
标高投影
这种用水平投影加注特征点、线、面高程数值和比例 来表示空间物体的方法，称为标高投影。
基准面
土木工程制图采取标准海平面为高程基准面，即 “1985国家高程基准”。 在高程投影中，水平投影面H为基准面。
高程
空间点到基准面的距离。单位：m。
标高投影
标高投影
§14.1
点和直线的标高投影
二、平面的表示方法
在标高投影中，平面用几何元素的标高投影来表示。
1、平面上的两条等高线表示平面：
等高线是平行直线，它们 完全可以确定一个平面。 作等高线的方法是，根据已 知条件等分已知二等高线，然后 过等分点作平行线。
30
28 26 24
22 20
2、坡度比例尺法表示平面：
根据平面上的坡度比例尺 与等高线垂直的关系，在标高 投影中平面的坡度比例尺的位 置和方向一旦确定，平面的位 置和方向随之而定，平面上的 等高线也相应确定。
c4
0
1
2
3
4
§14.2
平面的标高投影
一、平面的等高线和坡度比例尺
1、等高线：平面上的水平线
特性：
①直线； ②相互平行； ③相邻等高线高差相等时，水平距离也相等。
最大坡 度线 等高线
4 3 2 1 0
Pi 坡度 比例尺
2、坡度比例尺：
将平面上最大坡度线的投影附以整数标高，并画成一 粗一细的双线。
常见的地形图
1:1
b０
a４
3 2 1 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5
b０
m
坡面交线
Q 三、两平面的相对位置
2 2
P
两平面平行 1 1 H 如果两平面平行，则它们的坡度比例尺和等高 1 线互相平行、平距相等、标高数字的增减方向一致。 a Qi 24 两平面相交 Pi 22
20 18
H2
b
坡脚线 开挖线
交线 20