习 题 六6—1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。

现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。

求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系)/(07.742001.0)/(2001030602s rad mk mA m N k =====⨯=-ω设振动方程为 x =cos+φ)t =0时, x = =φ φ=0故振动方程为 x=(m)(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则：F ＝k (Δx )=k (x 0 +x )其中 x 0 =mg /k =40/200=(m)因而有 F = 200设第一次越过平衡位置时刻为t 1 ，则: 0= ) t 1 =π/第一次运动到上方5cm 处时刻为t 2 ，则 = ) t 2 =2π/(3× 故所需最短时间为：Δt =t 2 -t 1 =6—2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。

[解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知421=T s4/28/1,81ππνων====∴-s s T(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方。

t =0时, φcos 5A x =-= t =2s时，φφωsin )2cos(5A A x -=+==由以上二式得 1tan =φ因为在A 点质点的速度大于零，所以43πφ-= cm x A 25cos /==φ所以，运动方程为：)()4/34/cos(10252SI t x ππ-⨯=-(2)速度为： )434sin(410252πππ-⨯-==-t dt dx v当t =2s 时 s cm t dt dx v /93.3)434sin(425=--==πππ6—3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12s cm 时的位移。

[解] (1) 设振动方程为()()cm t A x ϕω+=cos 以cm A 12=、cm x 6=、124-⋅=s cm v 代入，得：()ϕω+=t cos 126 ()ϕωω+-=t sin 1224利用()()1cos sin 22=+++ϕωϕωt t 则1122412622=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ω解得 334=ω ()s T 72.2232===πωπ (2) 以124-⋅=s cm v 代入，得：()()ϕωϕωω+-=+-=t t sin 316sin 1212解得：()43sin -=+ϕωt 所以 ()413cos ±=+ϕωt 故 ()()cm t x 8.1041312cos 12±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛±⨯=+=ϕω6—4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。

[解] 设振动方程为：()ϕω+=t A x cos根据振动曲线可画出旋转矢量图 由图可得： φ=2π/3ω=Δφ/Δt =(π/3+π/2)/2=5π/12故振动方程为 x =10cos(5πt /12+2π/3) (cm)6—5 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率s rad 10=ω，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移0x ＝ cm ，初始速度s cm 0.750=v ；(2)其初始位移0x ＝ cm ，初速度s cm 0.750-=v 。

φ∆φx[解] 设振动方程为 x =A cos(10t +φ) (1) 由题意得： =Acos φ 75=-10A sin φ 解得：4πφ-= A = 故振动方程为：x =(10t 4π-)(cm) (2) 同理可得：x =(10t 4π+)本题用旋转矢量法更为直观。

另外，同学们在做作业时，不要用“同理可得”。

6—6 一轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30cm 。

现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg 待其静止后再把物体向下拉10cm ，然后释放。

问：(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件二者在何位置开始分离[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长0l ，则Mg kl =0又 ()m N l N k 2003.060===故 ()m k Mg l 196.02008.940=⨯==当小物体与振动物体分离时 ()Mg kl kA =>0，即 0l A >， 故在平衡位置上方处分离。

6—7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm ，在距平衡位置6cm处，速度是24s cm 。

如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩系数μ是多大[解] 设振动方程为 x =12cos(ωt +φ) 则：v =-12ωsin(ωt +φ) 以x =6cm v =24cm/s 代入得： 6=12cos(ωt +φ) 24=-12ωsin(ωt +φ) 解得 ω=433rad s / 最大位移处： 2ωA a =2ωmA ma F ==由题意，知 2ωμmA mg =0653.02==g A ωμ6—8 两根倔强系数分别为1k 和2k 的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m 的物体相连结，组成振动系统。

当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动若作谐振动，其周期是多少若将两弹簧并联，其周期是多少[解] (1) 串接：当弹簧1k 、2k 和物体静止时，22x k mg = 2211x k x k = 将串接的两弹簧看作一个弹性系数为k 的弹簧，由于()mg x x k =+21，得到2121k k k k k +=选平衡位置为坐标原点，正方向朝下。

分析受力，根据牛顿第二定律mg x x k ++-)(022dtxd m =。

由于mg kx =0，代入得到022=+x mkdt x d ，符合第二个判据，所以该系统的运动是简谐振动。

其角频率 ()2121k k m k k m k+==ω 因此周期 ()212122k k k k m T +==πωπ(2) 并接：当弹簧1k 、2k 和物体静止时，x k x k mg 21+=将并接的两弹簧看作一个弹性系数为k 的弹簧，由于mg kx =，得到21k k k +=选平衡位置为坐标原点，，正方向朝下。

分析受力，根据牛顿第二定律mg x x k ++-)(022dtx d m =。

由于mg kx =0，代入得到022=+x mkdt x d ，符合第二个判据，所以该系统的运动是简谐振动。

其角频率 m k k m k21+==ω 因此周期 2122k k mT +==πωπ6—9 在竖直平面内半径为R 的一段光滑圆弧轨道上放一小物体，使其静上于轨道的最低点，如图所示。

若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，试证明：(1)此物体作谐振动；(2)振动周期g R T π2=。

[证明] 取最低点为平衡位置，物体与O 点连线偏离O O '的角为θ。

(1) 物体与O 点连线偏离O O 'θ角时，指向平衡位置的力矩θsin mgR M -=，θ很小，故θθ=sin ，所以θmgR M -=可见该力矩为指向平衡位置的线形回复力矩，故物体作谐振动。

(2) 因为222dt d mR mgR θθ=- 所以022=+θθRgdt d 因此R g =ω 所以Rg T πωπ22==6—10 如图所示，半径为R 的圆环静止于刀口点O 上，令其在自身平面内作微小的摆动。

(1)求其振动的周期；(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。

[解] (1) 设圆环偏离角度为θ，θsin Rmg M -=22dt d J J M θβ== 2222mR md mR J =+=θθθRmg Rmg dt d mR ≈-=sin 2222 0222=+θθRgdt d 所作振动为谐振 R g 2=ω 所以 gRT 22π= (2) 单摆周期为gRT 22π=的摆长为R 2。

6—11 如图所示，质量为m 、半径为R 的半圆柱，可绕圆柱的轴线O 在重力作用下作微振动，已知半圆柱的质心在距轴π34Rr c =处，求其振动周期。

[解] OC 偏离中垂线θ角时指向中间的力矩θθc c mgr mgr M -=-=sin 根据转动定理βθJ mgr c =- 其中221mR J =代入得 02134222=+dt d mR R mg θθπ 即03822=+θπθRg dt d所以 Rgπω38=因此 g R T 8322ππωπ==6—12 测量液体阻尼系数的装置如图所示。

若在空气中测得振动频率为1υ，在液体中测得振动频率为2υ，求在液体中物体振动时的阻尼因子β。

[解] 在空气中振动方程为 022=+x mkdt x d m k =0ω在液体中振动方程 0222=++x mkdt dx dt x d β (β为阻尼系数)对应的振动角频率 2βω-=mk则 2220βωω=- 即 222221244βυπυπ=-所以 22212υυπβ-=6—13 一弹簧振子，当位移是振幅之半时，该振动系统的动能与总能量之比是多少位移为多大时，动能和势能各占总能量之半 [解] 设振幅为A ，弹簧倔强系数为k ，(1) 当位移是振幅之半时%752122121222=⎪⎭⎫⎝⎛-=kA A k kA E E k 总(2) 位移为x 时，动能、势能各占总能量的一半则有 22212121kA kx ⋅= 所以 A x 22±=6—14 一弹簧振子，弹簧的倔强系数m N 25=k ，当物体以初动能和初势能振动时，(1)求谐振动的振幅；(2)位移是多大时，势能与动能相等(3)位移是振幅之半时，势能是多大[解] (1) 设振幅为A，由机械能守恒定律，得kA2 /2=+A=25)1/2 = (m)(2) 动能、势能相等时有：kx2 /2=x=± (m)(3) 位移为振幅一半时，势能为E=2=E/4= (J)p6—15 如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数mk，重24N物的质量为m＝ 6 kg，重物静止在平衡位置上。