（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax2 中的 a 完全一样.
（2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ax2 bx c 的对
称轴是直线
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x b ，故：① b 0时，对称轴为 y 轴；② b 0（即 a 、b 同号）时，
2a
1 23. (1) S= 2 t2–2t (t >0)
(2) 当 S=30 时，t=10 (3) 当 T=8 时，S=16
1 24. (1) y= –25 x2
(2) 水位约 4 小时上涨到 0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过
60 千米/小时 25. (1) y=x2–4x–6 或 y=x2–10
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
11．抛物线 y=（x—l）2 +2 的对称轴是（ ）
A．直线 x=－1
B．直线 x=1 C．直线 x=2
D．直线 x=2
12．已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则在“① a
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＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ） A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④
式.
（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、 x2 ，通常选用交点式： y ax x1 x x2 .
12.直线与抛物线的交点
（1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为(0, c ).
（2）与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交点
A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
9．若二次函数 y=x2－x 与 y=－x2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不
正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k=0 没有实数根
1 D．二次函数 y=－x2＋k 的最大值为2
10．抛物线 y=x2 +2x－3 与 x 轴的交点的个数有（ ）
( h , ah 2 bh c ).
（3）抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、 x2 ，是 对应一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况
可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；
(2)若 x12+ x22=10，求抛物线的解析式
27．如图，等腰梯形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，点 A 在 y 轴的正方向上，
A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且 AB=2 10 .
（1）求点 B 的坐标；
（2）求经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在
一点
1
P，使得 S△PBD=2 S 梯形 ABCD。若存在，请求出
y
坐标，若不存在，请说明理由.
A
D
该点
B O
C x
28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围 墙及一段长为 6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生 物园的面积尽可能大。
(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙 的一边长为(60－2x)米，面积 y= (60－2x) x 米 2．当 x=15 时，y 最大值 =450 米 2。
_________________（只要求写一个）． 19．抛物线 y=(x－1)2+3 的顶点坐标是____________． 20．二次函数 y=x2－2x－3 与 x 轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
⑵过点 B 作直线 BC⊥AB 交 x 轴于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y＝－2x＋b 的解析式.
26．已知抛物线 y=(1-m)x2+4x-3 开口向下，与 x 轴交于 A(x1,0)和 B(x2,0) 两点，其中 xl<x2．
(1)求 m 的取值范围；
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数根.
（5）一次函数 y kx nk 0的图像 l 与二次函数 y ax2 bx ca 0的
图像 G 的交点，由方程组
y kx n 的解的数目来确定：①方程组有
y ax2 bx c
两组不同的解时 l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G 只
有一个交点；③方程组无解时 l 与G 没有交点.
(1)求抛物线的解析式和顶点 M 的坐标
(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且 0≤x0≤4,试写出 y0 的取值范围。
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22．华联商场以每件 30 元购进一种商品，试销中发现每天的销售量 y（件） 与每件的销售价 x （元）满足一次函数 y=162－3x；
（1）写出商场每天的销售利润 w （元）与每件的销售价 x （元）的函 数关系式；
15．用列表法画二次函数 y ax2 bx c 的图象时先列一个表，当表中对自变 量 x 的值以相等间隔的值增加时，函数 y 所对应的值依次为：20，56， 110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的 值是（ ） A．506 B．380 C．274 D．182
（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴
两交点为 Ax1，0，Bx2，0，由于 x1、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个根，故
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a
AB x1 x2
x1 x2 2
x1 x2 2 4x1x2
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0时，
开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地， y 轴记作直线 x 0.
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，
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(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？ 请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积 最大的方案．
x
x
答案:
1．>5
2. D
21. (1) (1,4)
(2) –5≤y0≤4
22. (1) W= –3x2+252x–4860
(2) W 最大=432（元）
交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
y 轴右侧，则 b 0.
a
7.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： y ax2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选
择一般式.
（2）顶点式： y ax h2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点
(2) y= –2x–2 (提示，Rt△ABC 中，OB2=OA·OC
7 26. (1) 1<m< 3
(2) y= –x2+4x–3
27 (1) B(–2, 0)
1 (2) y= –2 x2+2x+6
(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点 C，因此，P 点必定在直线
BD 下方，
P1 (1+ 21 ， 21 –3) P2（1– 21 ，– 21 –3）
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二次函数
1.定义：一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的
二次函数.
2.二次函数 y ax2 bx c 用配方法可化成： y ax h2 k 的形式，其中
h b ，k 4ac b2 .
2a
4a
②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切；
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③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离.
（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，
两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax2 bx c k 的两个实
那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：y ax2 bx c a x b 2 4ac b2 ，∴顶点是（ b ，4ac b2 ），
2a
4a
2a 4a
对称轴是直线 x b .
2a
（2）配方法：最大利润，每件商品的销售价定为多少为最 合适？最大销售利润为多少？
25.已知直线 y＝－2x＋b(b≠0)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B;一抛物 线的解析式为 y＝x2－(b＋10)x＋c.
⑴若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 y＝－2x＋b 上，试确定 这条抛物线的解析式；
b 2 4c a a
b2 4ac
a
a
1．二次函数 y=－x2＋6x－5，当 x
时， y 0 ，且 y 随 x 的增
大而减小。
2.抛物线 y x2 2mx (m 2) 的顶点坐标在第三象限，则 m 的值为（ ）
A． m 1 或 m 2 B． m 0 或 m 1 C． 1 m 0 D． m 1 ．
13．已知二次函数 y ax2 bx c (a≠0）的图象如图所示，则下列 结论：①a、b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当 y=－2 时，x 的值只能取 0．其中正确的个数 是（ ） A．l 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个