近世代数知识点
第一章基本概念
1.1 集合
A的全体子集所组成的集合称为A的幕集，记作2A.
1.2 映射证明映射：单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！
1.3 卡氏积与代数运算
{ (a,b )1 a € A,b € B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B 不等于B*A.
集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类
★等价关系： 1 自反性：?a € A,a a;
2 对称性：?a,b € R, a b=>b a€ R;
3 传递性：?a,b,c € R,a b,b c =>a c€ R
Remark：对称+传递工自反
★ 一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★ 不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。

第二章群
2.1 半群
1. 半群=代数运算+结合律，记作( S, )
Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii. 若半群中的元素可交换，即a b=b a, 则称为交换半群。

2. 单位元
i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不
存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元iii. 在有单位元的半群中，规定a0=e.
3. 逆元
i. 在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii. 逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii. 若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4. 子半群
i. 设S是半群，工T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群
ii. T是S的子半群？a,b T,有ab T
2.2 群
1 ．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i . 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel 群.
ii. 加群=代数运算为加法+交换群
iii. 单位根群Um={ m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL（n,P）, 数域P 上全体n 阶的行列式为 1 的矩阵集合SL
（n,p）.
2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元= 代数运算+结合律+
单位元+逆元
= 代数运算+结合律+?a,b G,ax=b,ya=b 有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii. 设G是群，则?a,b Gax=b,ya=b在G中有唯一解
iii. e 是G单位元 e 2=e
iv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群
4. 群的阶
群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

若为无限群，则= Remark：i. 克莱因四元群是一个Abel 群
ii. 四阶群只有克莱因四元群和模4 的剩余类群
2.3 元素的阶
1. 定义：设G是一个群，a G,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作=口若m不存在，则
2. 阶的性质
①G是一个群，a G, =m
n
i. a=e mn;
h k
ii. a=a m ;
0 12 m-1
iii. e=a ,a ,a , ........ a 两两不同；
iv. ★ ?r Z, a r = -------
Remark: i. ?r Z, a r =m (m,r)=l；
ii.若m=st,s,t N,则a s =t.
② ，
i. a n=e n=0;
h 」
ii. a =a ;
iii. ....... a-2,a-1,a °,a 1,a2 .......... 两两不等
iv. ?r Z\{0}, a r =.
Remark:若a < , b < ,贝U ab < ? .................. ( )
定理：有限群中的元素的阶均有限。

Remark定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。

单位根群是一个无限交换群。

3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a 的幕，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。

记G=（a）.
Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。

定理：设G=（a）是一个循环群，
（1）
（2）若
若
,则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2••…-a m-1}
•…}.
，则G疋无限群，且G-{-2 -1 0 1 2 a ,a ,a ,a ,a
定理：设G=
（a）是一个循环群，
（1）若,则G有（m）个生成元：a r ,（r,m）-1（2
）（3）若，则G有两个生成兀：a,a 1
（4
(5) 若，ar是G的生成元a r =m;
( 6 )
(7) 设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a2 ............ a p-1 Remark (m)表示小于m且与m互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。

★定理：设G是m阶群,则G是循环群G有m阶元
2.4 子群
定义：设G是半群，工H G,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群，记为
H G.
1. 子群的性质
(1)
(2) 传递性：H K, K G则H G;
( 3) 保单位元：设H G， a H, 则e H=e G;
( 4 )
(5) 保逆元：设H G a H,则a-1H=a-1G.
★定理：设G是半群，丰 H G, H G ?a,b H,有ab,R H ?a,b H,ab「H。