`习题 55-1．如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均为 mr 2 / 2 ，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。

解：受力分析如图，可建立方程：2mg T 2 2ma ┄① T 1 mg ma ┄② (T 2 T )r J ┄③ (TT 1 )r J ┄④ar， Jmr 2 / 2 ┄⑤T联立，解得： a1g ， T11 mg 。

485-2．如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为 m ，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开始时杆以角速度0 绕过中心 O 且垂直与桌面的轴转动，试求： （ 1）作用于杆的摩擦力矩； （ 2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（ 1）设杆的线密度为： m ，在杆上取l一小质元 dm d x ，有微元摩擦力：d fdmggd x ，微元摩擦力矩： d M g xd x ， 考虑对称性，有摩擦力矩：l1M 22 g xd xmgl ； 04JdMJt Mdt（ 2）根据转动定律，有：Jd ，dt1mglt12 0 ，∴ t0 l4m l。

123 g或利用：M t JJ0 ，考虑到0 ， J 1 ml 2 ，0 l12有： t3 。

g`5-3．如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略， 它与定滑轮之间无滑动。

假设定滑轮质量为 M 、半径为R ,其转动惯量为 MR 2 / 2 ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：m g T ma ┄①TR J ┄② aR， J1mR 2 ┄③22mg， TMmg，联立，解得： aM2m考虑到 aM2m2mg t 。

dv ，∴dvt 2mgdt ，有： vvdtM2mM 2m5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M /4，均 匀分布在其边缘上， 绳子 A 端有一质量为 M 的人抓住了绳端， 而在绳的另一端B 系了一质量为 M / 4 的重物，如图。

已知滑轮对 O轴的转动惯量 JMR 2 / 4 ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B 端重物上升的加速度？解一 ：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程MgT 1 Ma A人T 2 M gMa B 物4 4T 1 R T 2 R J 滑轮由约束方程 :a Aa B R 和 JMR 2 / 4 ,解上述方程组g得到 a.2解二 ：选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度， v 为重`物上升的速度，注意到 u 为匀速，d u0 ，系统对轴的角动量为：dtL1M v R M (u v) R (M R 2) 3M v R M u R44 2( B 物体)( 人 )( A 物体)v1M gR M gR 3M gR ，而力矩为： M44根据角动量定理 MdL有： 3d3g dtMgR( 2MvR MuR) ，∴ a 。

4dt25-5．计算质量为 m 半径为 R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R ，总重量为 m ，体密度3m ，4 R3考虑均质球体一个微元：d mr 2 sin d rd d ， 由定义：考虑微元到轴的距离为r sinJ(r sin ) 2dm ，有：J2Rr 2sin drd d(r sin ) 22 1 5 R (1 cos2) d cos ]2 2r[mR。

50 55-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲 度 系 数 k 40N / m ， 当 0时弹簧无形变，细棒的质量m 5.0kg ，求在0 的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从 0 ~900时，考虑机械能守恒，那么：0 时的机械能为：l(重力势能 )1 12 2 (转动动能 ) ，mg（3 ml ）22900 时的机械能为： 1 k x 22`l1 12 21 2 有： mg（3ml ）k x2 22根据几何关系： (x0.5)2 1.52 12 ，得：3.28rad s 15-7．如图所示，一质量为m 、半径为 R 的圆盘，可绕 O 轴在铅直面转动。

若盘 自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（ 1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率； （ 2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：（ 1）设虚线位置的 C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒， 有： mgR1 J 2，而 J1 mR2 mR 23 mR 2222∴4gv cR4Rgv A2R16Rg3R 33（ 2） F y27mg ，方向向上。

mg （重力） mR （向心力）35-8．如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和 2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴 O 在竖直面转动，转轴O 距两端分别为1 l 和 2l ．轻杆原来静m 的小球，以水平速度3 3 止在竖直位置。

今有一质量为 v 0 与杆下端小球 m 作对心碰撞，碰后以1v 0 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

2解：根据角动量守恒，有：mv 02 l m 1v 0 2 l m( 2l )22m ( l)232 3 33有： ( 4l22 l 2 ) 2v 0l1v 0l9933∴3v 02l`5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为 R ，放在一粗糙水平面上 (圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中 心 O 的竖直固定光滑轴转动。

开始时，圆盘静止， 一质量为 m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上， 求：（ 1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度； （2）经过多少时间后， 圆盘停止转动。

(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为1MR 2 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。

)21MR 2解：（ 1）利用角动量守恒： mvRmR 22mv2得：；M ) R (2 m（ 2）选微分 dmrdrd ，其中：面密度M， R 2R M 2 M fgrdmgr 2 2πrdrM gR 0R 3∴由 M ft J有：2M gRt ( 1M R 2 mR 2 )0 ，322 M2mR知： t4 Mg将2mv 代入，即得： t3 mv。

2m RM2 M g5-10．有一质量为 m 1 、长为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上， 它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。

另有一水平运动的质量为 m 2 的小滑块， 从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。

已知小滑块在碰撞前后vv的速度分别为 v 1 和 v 2 ，如图所示。

求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

( 已知棒绕 O 点的转动惯量J1m 1l 23 )`解：由碰撞时角动量守恒，考虑到m v l 1 m l 2m v l ，得：2 13 1 2 2v v v 1 和 v 2 方向相反，以逆时针为正向，有：3m 2 (v 1 v 2 )m 1l又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：M fl m1g xd x1 m 1 gl ，利用 M fJd，有：l2dtt 0 1m 1 l 2d2l 2m 2 (v 1 v 2 )30 dt1，得： t。

3 gm 1gm 1g l25-11．如图所示， 滑轮转动惯量为 0.01kgm 2 ，半径为 7cm ；物体的质量为 5kg ，用一细绳与劲度系数 k200N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮 轴上的摩擦忽略不计。

求：（ 1）当绳拉直、 弹簧无伸长时使 物体由静止而下落的最大距离； （ 2）物体的速度达最大值时 的位置及最大速率。

解：（ 1）设弹簧的形变量为 x ，下落最大距离为 x max 。

由机械能守恒：1 k x max2 mgx max ，有：2xmax2mg0.49m ；k1 k x2 1 mv 2 1 J 2（ 2）当物体下落时，由机械能守恒：mg x ，v，有：1 k x2 1 mR 221 J2 2考虑到22mg x ，R2 22欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令 d0 ，有：d xk x1(m R 2J ) 2d mg ，将d0 代入， 有： xmg 0.245(m) ，2d xd xk∴当 x 0.245 m 时物体速度达最大值，有：`mgx1 kx 222，代入数值可算出： v max 1.31m / s 。

vmax1J(m )2r 25-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比，比例系数的 k ，并已知叶片转子的总转动惯量为 J 。

（ 1）原来静止 的电扇通电后 t 秒时刻的角速度； （ 2）电扇稳定转动时的转速为多大？（ 3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（ 1）已知 M fk ，而动力矩 MP ，d通电时根据转动定律有：MM fJdttJP 2kdt代入两边积分有：dt2 ，可求得：(1 e J ) ；0 P kk（ 2）见上式，当 t时，电扇稳定转动时的转速：稳定P ；k（ 3）断开电源时，电扇的转速为P0 ，只有 M f作用，那么：kkJd，考虑到ddk d 0，有：d ，dtdtdJ得：JJ Pk 0。

k k5-13．如图所示， 物体 A 放在粗糙的水平面上， 与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A ，另一端缠绕在半径为 R 的圆柱形转轮B 上，物体与转轮的质量相同。

开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 0 绕其转轴转动。

试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体 A 的速度多大？物体 A 运动后，细绳的力多大？A 和转轮B 、 解：（ 1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，J0JRmv A ，又 v AR ， J1 mR 22`12A3Tmg ma1运动后，由牛顿定律：（ ）物体（ ）对转轮 B ，由定轴转动定律： TR J ，（ 2）约束关系： aR （3）可求出： T1mg 。

35-14. 质量为 m 的小孩站在半径为 R 、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台 边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 )。

平台和小孩开始时均静止。

当小孩突然一相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度 为多少？解：此过程角动量守恒：m Rv J0 ，有：mRv 。

J5-15．在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在 距转轴为1R 处，人的质量是圆盘质量的 1/10．开始时盘载人对地以角速度0 匀2v 沿与盘转动相反方向作圆周运 速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为1MR 2．求：R 2(1) 圆盘对地的角速度．R/21(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着vR 圆周对圆盘的速2度 v 的大小及方向？解： (1) 设当人以速率 v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为 ，则人对与地固联的转轴的角速度为v 2v ①1 R R2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为 M ，则人的质量为 M / 10，有：1 MR 2M 1 R210 221 MR 2M 1 R 2②210 2将①式代入②式得：02v③21R(2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即0 +2v / (21R)＝0得：v ＝－ 21R0 / 2式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．2答案：0； v＝－ 21R 0 / 221R式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．思考题5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量 m1和 m2的物体( m1< m2)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的力多大？解：m1 g T1 m1 a（ 1）T2m2 g m2 a（ 2）(T1T2 )r J（ 3）a r（ 4）联立方程可得T1、 T2， T2T1。